Eine Kurve hat nicht immer nur eine rein geometrische Bedeutung. Oft beschreibt man damit die Abhängigkeit zweier (etwa physikalischer) Größen. Ein Beispiel dafür ist das im Folgenden (sowie auch in Bild 1) dargestellte Geschwindigkeit-Zeit-Diagrammm einer beschleunigten Bewegung.
Der Kurvensteigung (im
Punkt 
)
entspricht physikalisch die Zunahme der Geschwindigkeit
(in ),
also die Beschleunigung.
Wenn wir die Kurvensteigung ermitteln, so berechnen wir in Wirklichkeit
die physikalische Größe Beschleunigung.
Deshalb ist es notwendig, dem Begriff der Kurvensteigung einen
allgemeineren Namen zu geben. Anstatt Kurvensteigung in
sagt man Ableitung in
oder Differenzialquotient in .
Der Begriff Ableitung
Existiert an der Stelle 
des Definitionsbereiches einer reellen Funktion f der Grenzwert des Differenzenquotientens
für x gegen ,
so wird dieser als Ableitung oder Differenzialquotient
der Funktion f an der Stelle
bezeichnet. Die Funktion f heißt dann an der Stelle
differenzierbar.
Die Ableitung von f an der Stelle
bezeichnet man mit 
und schreibt folgendermaßen:
Andere Bezeichnungen sind
.
Geometrisch gesehen gibt die Ableitung einer Funktion die Steigung
(der Anstieg) der Tangente (bzw. des
Funktionsgraphen) an der Stelle
an, da der Differenzenquotient die Steigung der Sekante durch die Punkte
und
angibt.
(interaktives Beispiel)
- Beispiel 1:
Für die Funktion
erhält man an einer beliebigen Stelle :
Für
erhält man für die Tangente im Punkt 
den Anstieg 
und damit die Tangentengleichung 
,
also 
. - Beispiel 2:
Für die Betragsfunktion
gilt:
Das heißt, der Grenzwert
existiert nicht. Die Betragsfunktion ist an der Stelle 
nicht differenzierbar.
Anmerkung: Bei komplizierten Termstrukturen verwendet man zum Bilden der Ableitung zweckmäßigerweise einen GTA.
Praktische Anwendungen
Bei praktischen Anwendungen des Differenzialquotienten bedeutet die Ableitung
oft
die lokale oder punktuelle Änderungsrate.
- Beispiel:
Bewegungsvorgänge lassen sich durch eine Weg-Zeit-Funktion
beschreiben. Der Differenzenquotient
der Weg-Zeit-Funktion gibt die mittlere Geschwindigkeit und damit die mittlere Änderungsrate der Weglänge bezüglich des Zeitintervalls
an.
Der Grenzwert
(also die Ableitung der Weg-Zeit-Funktion an der Stelle
),
heißt Momentangeschwindigkeit
zum Zeitpunkt ,
sie beschreibt die lokale oder punktuelle Änderungsrate der Weglänge
bezüglich der Zeit.
Anmerkung: Ableitungen nach der Zeit werden in der Physik statt mit dem Ableitungsstrich mit einem Punkt bezeichnet, beispielsweise ist
die Ableitung von
nach der Zeit.
Weitere Anwendungsbeispiele für Änderungsraten sind mit der
Steuerfunktion, der Kostenfunktion
sowie in vielfältigen naturwissenschaftlichen Zusammenhängen
(z.B. radioaktiver Zerfall, chemische Reaktionen, Temperaturgefälle,
Luftdruckgefälle) gegeben.