Ableitungsfunktion

Existiert der Differenzialquotient einer Funktion für alle Punkte eines Intervalls, so ist die Funktion im ganzen Intervall differenzierbar. Jedem x-Wert des Intervalls ist ein Wert des Differenzialquotienten zugeordnet, der also wiederum eine Funktion von x ist. Man nennt diese die abgeleitete Funktion oder Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung):

Anmerkung: f heißt Stammfunktion zu .

• Gegeben ist eine Funktion . Ihr Differenzialquotient in a ist der folgende:
  
  Daher lautet die Gleichung der Ableitungsfunktion von f:
  (interaktives Beispiel)

Im Allgemeinen ist der Definitionsbereich der Ableitungsfunktion nicht gleich dem der zugrunde liegenden Funktion, sondern vielmehr ein Teilbereich davon. Die Definitionsmenge von umfasst alle Elemente der Definitionsmenge von f, für die Ableitungen existieren.

Beispiele

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  Es gilt: und
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  Es gilt: und
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  Es gilt: und
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  Es gilt: und

Beachten Sie: Es ist stets .

Ableitungsfunktionen elementarer Funktionen

Wenn eine Funktion nur durch ihren Funktionsgraphen gegeben ist, dann kann man ihre Ableitungsfunktion näherungsweise durch grafisches Differenzieren bestimmen.