Zwei Geraden g und h im Raum heißen zueinander windschief, wenn sie sich weder schneiden noch zueinander parallel sind.
Wir greifen das im Beitrag "Lagebeziehungen von Geraden im Raum" betrachtete Beispiel
wieder
auf:
Ein Flugzeug 
bewege sich auf folgender Geraden (bzw. auf der entsprechenden Halbgeraden
für 
Für die "Bewegungsgerade" eines zweiten Flugzeuges 
gelte:
Um die Kollisionsgefahr abschätzen zu können, ist zunächst
die Lagebeziehung der beiden Geraden
zueinander zu untersuchen. Dies ergibt, dass g und h zueinander windschief
sind (s. dazu oben genannten Beitrag).
Ist damit aber die Kollisionsgefahr gebannt?
Sicher nicht, schließlich
ist für die Flugsicherheit ein gewisser Mindestabstand der Flugzeuge
notwendig.
Wir müssen daher unsere Überlegungen diesbezüglich ergänzen
und wollen zunächst den Abstand der beiden "Bewegungsgeraden"
voneinander bestimmen.
Anmerkung: Eine Bewertung dieses Abstandes hinsichtlich unserer Fragestellung
kann selbstverständlich nur unter Zugrundelegung der benutzten Längeneinheit
erfolgen. Auf eine diesbezügliche Diskussion wollen wir an dieser
Stelle verzichten und uns mit der prinzipiellen Vorgehensweise begnügen.
Bei der letzten Formulierung waren wir allerdings etwas schnell: Was
soll unter dem Abstand zweier windschiefer Geraden überhaupt verstanden werden?
In Analogie zur Definition des Abstandes anderer geometrischer Objekte wollen wir unter dem Abstand zweier windschiefer
Geraden g und h im Raum die Länge der kürzesten Strecke 
verstehen, die einen beliebigen Punkt A von g mit einem beliebigen Punkt
B von h verbindet.
Aber existiert zu beliebigen windschiefen Geraden g
und h immer ein (derartig definierter) Abstand, also eine kürzeste
Verbindungsstrecke?
Wir wollen dazu die folgenden Überlegungen anstellen: Sei 
die Ebene, die h enthält und parallel zu g verläuft (da die
Geraden g und h windschief zueinander sind, ist diese Ebene eindeutig bestimmt).
Es sei 
die Normalprojektion von g auf
die Ebene 
Da g und h zueinander windschief sind, schneidet
die Gerade h in einem eindeutig bestimmten Punkt 
das Urbild dieses Punktes bezüglich der betrachteten Projektion
sei 
(s. nebenstehendes Bild). |
 |
Nach unserer Konstruktion ist 
eine Verbindungsstrecke von g und h, die sowohl auf der Geraden g als
auch auf der Geraden h senkrecht steht.
Da ein Punkt A auf g von einem Punkt B der Geraden h mindestens so weit
entfernt ist wie von der Ebene 
ist
die kürzeste Verbindungsstrecke von g und h. Die Eindeutigkeit folgt
aus der Eindeutigkeit des Punktes 
Dies folgt beispielsweise daraus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck
die Hypotenuse größer als jede Kathete ist. Wir müssen
nur noch deren Länge bestimmen, also den Abstand des Punktes
oder einfacher eines beliebigen Punktes A auf g von der Ebene
Da das Kreuzprodukt 
der Richtungsvektoren von g und h ein Normalenvektor von
ist, gilt mit einem beliebigen Punkt 
Für die von uns oben betrachteten "Bewegungsgeraden" gilt
mit 
und 
also auch:
Gehen wir einmal davon aus, dass dieser Abstand tatsächlich eine
kritische Grenze unterschreitet: Kollidieren die beiden Flugzeuge 
Dies ist selbstverständlich nur dann möglich, wenn sich beide
zur selben Zeit im kritischen Bereich befinden. In unserem Modell
ist dies dann der Fall, wenn kurze Abstände der Flugzeuge für
etwa gleiche Parameter r und s in den Geradengleichungen erreicht werden.
Wir wollen dies überprüfen, indem wir bestimmen, für welche
r und s der Differenzvektor 
parallel zum Normalenvektor 
wird.
Dazu ist das folgende Gleichungssystem zu lösen:
Es ergibt sich 
Da zwischen Punkten der beiden Bewegungsgeraden sehr kleine Abstände
nur für ziemlich unterschiedliche Parameter r und s erreicht werden,
besteht nach unserem Modell wohl keine Kollisionsgefahr.