Abstand, zwei Ebenen

Gegeben seien im Raum zwei Ebenen und . Der Abstand dieser beiden Ebenen ist zu bestimmen.
Dazu muss man zuerst erklären, was unter dem Abstand von zwei Ebenen und zu verstehen ist:
Bezeichnet einen beliebigen Punkt von und einen beliebigen Punkt von , so soll unter dem Abstand von und die kleinste aller möglichen Streckenlängen verstanden werden.

Sind und nicht zueinander parallel, so haben beide eine Schnittgerade g gemeinsam (s. Bild 1).
Wie beim Abstand zweier einander schneidender Geraden würde sich hier der Abstand 0 ergeben, obwohl und nicht zusammenfallen.
Aus diesem Grund betrachten wir im Weiteren nur zwei zueinander parallele Ebenen und .

Wählt man einen Punkt von und fällt das Lot von auf , dann bezeichnet den zugehörigen Lotfußpunkt. Aufgrund der Dreiecksungleichung (s. auch nebenstehende Skizze) ist die kürzeste unter allen Verbindungsstrecken, die mit einem Punkt X von verbinden (Bild 2).

Wir betrachten nun einen von verschiedenen Punkt in . bezeichnet dann den zugehörigen Lotfußpunkt in und bildet ein Rechteck (Bild 3). Daraus kann man schlussfolgern, dass die Bestimmung des Abstandes zweier paralleler Ebenen und unabhängig von der Wahl des Punktes von in ist.
Durch diese Überlegung lässt sich die Abstandsbestimmung für zwei zueinander parallele Ebenen auf die Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene zurückführen. Es gelten die folgenden beiden Sätze.

Satz:
Sind im Raum zwei zueinander parallele Ebene und jeweils durch einen Stützpunkt bzw. und jeweils einen Normalenvektor bzw. ( und sind linear abhängig voneinander) gegeben, so kann man den (vorzeichenbehafteten) Abstand der beiden Ebenen durch berechnen (s. interaktives Rechenbeispiel 1).

Satz:
Sind im Raum zwei zueinander parallele Ebene und durch ihre Gleichungen bzw. gegeben, so kann man den (vorzeichenbehafteten) Abstand der beiden Ebenen (beispielsweise) unter Verwendung der Koordinaten des Punktes durch bestimmen (s. interaktives Rechenbeispiel 2).

Berechnet man den Abstand von und wie oben angegeben, dann ist

• genau dann, wenn in dem Halbraum bezüglich liegt, in den der Normalenvektor von zeigt;
  
  
• genau dann, wenn in dem Halbraum bezüglich liegt, in den der Normalenvektor von nicht zeigt;
  
  
• h = 0 genau dann, wenn = gilt.