Verteilungsannahmen
(z.B. Hypothesen zu unbekannten Wahrscheinlichkeiten) über Merkmale
einer zu untersuchenden Grundgesamtheit werden mithilfe statistischer Tests,
sogenannten Signifikanztests, anhand konkreter Stichproben überprüft.
Basis der Überprüfungen ist die Nullhypothese.
Der mathematische Aufbau der Signifikanztests erfolgt so, dass genau zwei
Prüfergebnisse möglich sind: die Nullhypothese ist abzulehnen
oder die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden.
Für den Fall, dass die Nullhypothese abzulehnen ist, legt im Allgemeinen
die Alternativhypothese fest, wie das "Nichtgültigsein" der
Nullhypothese zu deuten ist. Sind in einem Test beide Hypothesen einfache
Hypothesen, also durch jeweils genau
einen konkreten Wert formuliert, so spricht man von einem besonderen Signifikanztest,
dem Alternativtest,
anderenfalls (nur) von einem (normalen) Signifikanztest.
Wegen der eindeutigen Festlegung beider Hypothesen lässt sich im ersten
Fall für die Signifikanzbeurteilung sowohl der Fehler 1. Art als auch
der Fehler 2. Art eindeutig berechnen.
Bei einem (normalen) Signifikanztest kann der Fehler 2. Art nicht eindeutig
berechnet werden, da (zumindest) die Alternativhypothese nicht eindeutig
(nicht durch genau einen Wert) festgelegt ist.
Definition:
Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest),
bei dem zwischen zwei einfachen Hypothesen alternativ (für den einen
oder den anderen konkreten Wert) entschieden wird, heißt Alternativtest.
Im konkreten Fall ist bei der Testkonstruktion in folgenden Hauptschritten vorzugehen:
|
(1) |
Man legt fest, was als Nullhypothese und was als Alternativhypothese zu formulieren ist. Dabei ist zu beachten, in welchem Maße Vorsicht angebracht ist bzw. wo (ob) man größere Risiken eingehen darf. |
|
(2) |
Man legt den Annahmebereich bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese fest und ermittelt daraus das zugehörige Signifikanzniveau (also den Fehler 1. Art) und den Fehler 2. Art. |
Oder: Man geht von einem vorgegebenen Signifikanzniveau aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese sowie den Fehler 2. Art.
Für die Wahrscheinlichkeit der beiden Fehler bei festgelegtem Annahme- bzw. Ablehnungsbereich für die Nullhypothese gelten folgende Aussagen:
Wahrscheinlichkeit für den Fehler
1. Art
Die summierte Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches einer Nullhypothese
unter der
Bedingung 
ist als Maß dafür anzusehen, wie wahrscheinlich es ist, einen
Fehler 1. Art zu begehen. Mit dieser Wahrscheinlichkeit
wird die in Wirklichkeit wahre Nullhypothese irrtümlich abgelehnt.
Es gilt: 
Wahrscheinlichkeit für den Fehler
2. Art
Die summierte Wahrscheinlichkeit des Annahmebereiches einer Nullhypothese
unter der
Bedingung 
ist als Maß dafür anzusehen, wie wahrscheinlich es ist, einen
Fehler 2. Art ( 
-Fehler)
zu begehen. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird die in Wirklichkeit falsche
Nullhypothese irrtümlich nicht abgelehnt.
Es gilt: 
Für einen festen Stichprobenumfang n lässt sich feststellen:
- Je kleiner man den Ablehnungsbereich
wählt, desto kleiner wird auch die Wahrscheinlichkeit für
den Fehler 1. Art. - Je kleiner man den Annahmebereich A wählt, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
- Bei festen Werten für
(Nullhypothese) und 
(Alternativhypothese) bewirkt jede Verkleinerung der Wahrscheinlichkeit
eine Vergrößerung
der Wahrscheinlichkeit 
.
In Abhängigkeit vom konkreten Sachverhalt ist abzuwägen, für
welchen Fehler die Wahrscheinlichkeit möglichst klein bleiben soll.
Müssen möglichst beide Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen
klein bleiben, dann ist dies nur mit einer Vergrößerung des
Stichprobenumfangs erreichbar.
Dabei gilt: Vergrößert man den
Stichprobenumfang n,
so wird die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und
2. Art verkleinert. Die Sicherheit für die zu treffende Entscheidung
wächst.
Geht man umgekehrt von einem vorgegebenen Signifikanzniveau
aus und bestimmt
daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für
die Nullhypothese, so ist noch die Unterscheidung zwischen einem (einseitigen)
rechtsseitigen Alternativtest und einem (einseitigen) linksseitigen Alternativtest
zu beachten:
Ein (einseitig) rechtsseitiger Test ist angebracht, wenn große Werte
von X gegen die Nullhypothese 
somit für die Alternativhypothese 
sprechen. Gilt für die Zufallsgröße X also 
,
so ist der Ablehnungsbereich 
.
Beim (einseitigen) linksseitigen Test (kleine
Werte von X sprechen gegen die Nullhypothese
und somit für die Alternativhypothese )
wäre der Ablehnungsbereich 
.
Ermitteln des kritischen Werts X =
k bei vorgegebenem Signifikanzniveau
(Einseitiger) rechtsseitiger
Alternativtest:
Bei vorgegebenem -Wert
ist k als diejenige kleinste ganze Zahl zu
ermitteln, für die gilt:
(Im Allgemeinen wird mit der Beziehung 
gearbeitet.)
(Einseitiger) linksseitiger
Alternativtest:
Bei vorgegebenem -Wert ist k als diejenige größte ganze Zahl
zu ermitteln, für die gilt:
