Spatprodukt, Anwendungen

Sind die drei Vektoren = , = und = gegeben, so bezeichnet das Spatprodukt dieser drei Vektoren.
Das Spatprodukt lässt sich wie folgt berechnen:

Außer dem Volumen eines Parallelepipeds kann mithilfe des Spatprodukts auch das Volumen eines Tetraeders ermittelt werden.
Ist OABC ein Tetraeder, das durch die drei Vektoren , und festgelegt ist, so bestimmen diese drei Vektoren auch ein Spat (Bild 1). Zuerst zerlegt man dieses Spat in zwei volumengleiche Teile, indem es entlang der Ebene durch A, E, F, B zerteilt wird. Zeichnet man dann die Strecke ein, so "zerfällt" der eine Teilkörper in drei Tetraeder OABC, ABCE und CBEF:
Die Tetraeder OABC und CBEF sind volumengleich, weil zum einen ihre Grundflächen OAB und CEF zueinander kongruent sind. Zum anderen stimmt die Höhe von C auf mit der Höhe von B auf überein, da die beiden betrachteten Ebenen parallel sind.

Die Tetraeder OABC und ABCE sind volumengleich, weil ihre Grundflächen OAC und ACE zueinander kongruent sind und in einer gemeinsamen Ebene liegen sowie B die gemeinsame Spitze über den entsprechenden Grundflächen ist.
Folglich gilt für das Volumen V(OABC) eines Tetraeders OABC:

(interaktives Rechenbeispiel)

Das Spatprodukt kann ferner zur Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Ebene und zur Berechnung des Abstands zweier zueinander windschiefer Geraden benutzt werden.

Sind eine Ebene durch ihre Gleichung und ein Punkt P durch seine Koordinaten gegeben, so erhält man den (vorzeichenbehafteten) Abstand h des Punkts P von durch

(Bild 2).

Sind im Raum zwei zueinander windschiefe Geraden durch ihre Gleichungen und gegeben, so ist der Abstand h der beiden Geraden gleich dem Abstand der beiden zueinander parallelen Ebenen und , die bzw. enthalten und eindeutig bestimmt sind. Beide Ebenen sind dabei durch die Richtungsvektoren bestimmt. Der gesuchte Abstand ergibt sich dann z.B. als Abstand von . Damit erhält man:
(Bild 3)