Differenzengleichungen bieten einen elementaren mathematischen Zugang zu anspruchsvollen praktischen Fragestellungen, z.B. aus der Populationsdynamik, der Finanzmathematik und der Technik. Das Bearbeiten von Differenzengleichungen umfasst im Wesentlichen das Abarbeiten von iterativen Berechnungsverfahren und rekursiven Bildungsvorschriften, das Finden expliziter Bildungsvorschriften für Folgen, das Lösen von Gleichungssystemen und ähnliche elementare Anforderungen.
Ratensparen, Guthabenverrentung und
Annuitätendarlehen
Ein Konto hat einen Stand 
,
der sich durch Zinsen und Einzahlungen bzw. Abhebungen mit der Zeit ändert;
es gilt also 
.
Der Verzinsungszeitraum sei 
.
Die Zinsen werden jeweils am Jahresende auf dem Konto verbucht. Ebenfalls
am Jahresende wird eine Rate r auf das Konto eingezahlt 
oder dem Konto entnommen 
.
Weitere Buchungen gibt es auf dem Konto nicht.
Die Änderung 
des Kontostandes K kommt also durch die Rate r und durch die Zinsen 
bei einem Jahreszinssatz p zustande. Es gilt:
Der letzte Ausdruck ist eine lineare inhomogene Differenzengleichung 1.
Ordnung der Form 
,
wobei 
dem 
entspricht sowie 
gilt.
Der Kontostand nach dem i-ten Verzinsungszeitraum ergibt sich mit 
zu:
Am Anfang 
beträgt der Kontostand 
,
woraus sich der Parameter c bestimmen lässt:
Die partikuläre Lösung lautet
somit:
bzw.
Die erhaltene Gleichung bezeichnet man als nachschüssige
Rentenformel (s. interaktives Beispiel).
Mit dem mathematisch beschriebenen Sachverhalt werden mehrere reale Vorgänge erfasst:
- Guthabenverzinsung
Auf einem Konto befindet sich ein Guthaben, das im Zeitraum
bestimmte
Zinsen erbringt.
Im folgenden Zeitraum wird das Guthaben einschließlich der Zinsen verzinst
.
- Ratensparen
Auf einem Konto befindet sich ein Guthaben, das im Zeitraumverzinst
wird.
Zusätzlich wird am Ende jedes Verzinsungszeitraumes ein fester Betrag eingezahlt
.
- Guthabenverrentung
Auf einem Konto befindet sich ein Guthaben, das im Zeitraum
verzinst wird.
Am Ende jedes Verzinsungszeitraumes wird ein fester Betrag
abgehoben.
- Annuitätendarlehen
Ein Darlehen eines Bankkunden wird auf einem Konto geführt. Am Ende jedes Verzinsungszeitraums zahlt er einen festen Betrag – die Annuität – auf das Konto ein, um die Zinsen zu zahlen und das Darlehen zu tilgen. Da der Kunde den Kontostand und die anfallenden Zinsen der Bank schuldet, gehen Kontostand sowie Zinsen mit negativem Vorzeichen in die Rechnung ein
.
Die verschiedenen Fälle sind in der folgenden Abbildung und in
Bild 1 für bestimmte Parameter gegenübergestellt. Für den
Fall des Annuitätendarlehens ist die Berechnung des Kontostandes,
der Zinsen und der Tilgung in nachstehender Tabelle aufgeführt.
 |
 |
In der Tabelle kann der Kontostand
im i-ten Jahr ausgehend von 
nach der Differenzengleichung oder der nachschüssigen Rentenformel
berechnet werden. Die Zinsen am Ende des i-ten Jahres ergeben sich aus
. Die
Kontostandsänderung 
ist die Summe der Zinsen und der Rate, kann aber auch als 
berechnet werden.
Temperaturanpassung an Umgebungstemperatur
Befindet sich ein Körper mit der Temperatur T in einer Umgebung der
Temperatur 
,
so wird sich seine Temperatur in Richtung der Umgebungstemperatur so lange
ändern, bis ein Temperaturausgleich erfolgt ist. Dabei wird in einer
Zeiteinheit
die Temperaturänderung 
umso größer sein, je größer der Unterschied der
Temperaturen T und
ist. Es gilt 
,
also auch
oder
,
wobei k ein auf das Zeitintervall
bezogener Temperaturkoeffizient ist, der die Geschwindigkeit des Temperaturausgleichs
charakterisiert.
Das newtonsche Abkühlungsgesetz entspricht der linearen homogenen
Differenzengleichung 
.
Dem 
entspricht
und es gilt 
und 
.
Da 
und
damit 
vorausgesetzt werden kann, ist folgende Funktion Lösung der Differenzengleichung:
Ist zur Zeit 
die Temperatur des Körpers 
,
so kann c bestimmt werden:
und
damit 
Sind k, 
und
für einen Körper bekannt, so kann nach der erhaltenen Gleichung
die Temperatur
dieses Körpers zu allen Zeiten 
berechnet werden. Der umgekehrte Weg ist jedoch auch möglich und
praktisch wichtig, um den Temperaturkoeffizienten k eines Körpers
oder die Umgebungstemperatur
zu bestimmen. Dazu muss eine Folge von Messwerten
mit konstantem Zeitabstand zwischen den einzelnen Messungen vorliegen.
Beispiel
Ein Becherglas wird mit Leitungswasser gefüllt und in ein Wasser-Eis-Gemisch
getaucht, in dem ein Magnetrührer arbeitet. Über einen Temperaturfühler
wird im Abstand von
die Temperatur aufgezeichnet. In einem solchen Experiment mit einem 50-ml-Becherglas,
ergaben
sich die in Tab. 1 enthaltenen Messwerte. Tab. 2 enthält die Werte
für das 
.
Das
bestätigt, dass die Messwerte
einer linearen Differenzengleichung gehorchen. Für die Gerade durch
die Messpunkte müssen nun Anstieg und Verschiebung berechnet werden,
um die Parameter der Gleichung 
bestimmen zu können:
Anstieg (berechnet aus erstem und letztem
Punkt in Tab. 2):
, also
Verschiebung (berechnet aus dem erstem Punkt
in Tab. 3):
, also
Als die an die Messpunkte angepasste Lösung der Differenzengleichung
erhält man somit 
.
| Die Abkühlkurve zeigt sowohl die Messdaten als auch die über die gefundene Differenzengleichung ermittelten Werte. Die kleinen Abweichungen sind durch Messfehler bedingt. |  |