Der griechische Geometer APOLLONIOS VON PERGE (um 262 v.Chr. bis etwa
190 v.Chr.) beschäftigte sich intensiv mit Fragen der Form geometrischer
Figuren.
Als speziellen geometrischen Ort untersuchte APOLLONIOS die Menge aller
der Punkte P, die von einem gegebenen Punkt A doppelt so weit entfernt
sind wie von einem anderen gegebenen Punkt B, d.h. für die gilt:
Er stellte fest, dass diese Punkte auf einem Kreis (dem sogenannten APOLLONIOS-Kreis)
liegen (Bild 1).
Der Nachweis, dass es sich bei der Menge der Punkte P(x; y) mit der gegebenen
Eigenschaft tatsächlich um einen Kreis handelt, lässt sich mit
den Mitteln der analytischen Geometrie relativ leicht führen.
O.B.d.A. nehmen wir dazu an, dass die Punkte A und B in einem ebenen kartesischen
Koordinatensytem die Koordinaten (0; 0) bzw. (b; 0) haben. Dann muss gelten:
Durch Quadrieren und Umformen ergibt sich daraus
bzw. mittels quadratischer Ergänzung
.
Diese Gleichung beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt 
und
dem Radius 
.
In der obigen Abbildung ist der Sachverhalt dagestellt, wobei als feste
Punkte die Punkte A(0; 0) und B(6; 0) gewählt wurden. Der APOLLONIOS-Kreis
hat in diesem Fall den Mittelpunkt M(8; 0) und den Radius 4.
Die Punkte A, B, M und der Kreispunkt C sind sogenannte
harmonische
Punkte, d.h. Punkte der harmonischen Teilung der Strecke 
,
d.h., es gilt:
B ist der innere harmonische Teilpunkt, C der äußere harmonische
Teilpunkt der Strecke .