Da die hyperbolischen
Funktionen über ihrem Definitionsbereich bzw. über einem Teilbereich
von diesem monoton sind, existieren ihre Umkehrfunktionen. Diese werden
als Areafunktionen bezeichnet:
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Funktion
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Umkehrfunktion
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 (Sprechweise: area sinus hyperbolicus x) |
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Für die Areafunktionen lassen sich explizite
Darstellungen unter Verwendung des natürlichen Logarithmus angeben.
Im Folgenden wird eine solche Darstellung am Beispiel der Umkehrung der
Funktion 
entwickelt.
Es gilt 
genau dann, wenn 
ist, d.h.:
Diese Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung in 
auffassen, deren Lösungen 
sind. Da
nicht negativ wird, kann nur die Lösung 
gewählt werden. Somit ist:
Entsprechend erhält man für die anderen Areafunktionen die folgenden
Darstellungen:
Die Bilder der Areafunktionen ergeben sich aus denen der hyperbolischen
Funktionen durch Spiegelung an der Geraden 
(s. Bilder 1 und 2).
In der folgenden Tabelle sind einige Eigenschaften
der Areafunktionen zusammengestellt (die sich aus den entsprechenden Eigenschaften
des natürlichen Logarithmus ableiten).
Die Bezeichnung Areafunktion
resultiert aus der geometrischen Deutung als Flächeninhalt des Sektors
einer gleichseitigen Hyperbel (d.h. einer Hyperbel mit der Gleichung 
):
In obigem Bild gilt 
.
Das lässt sich wie folgt zeigen:
Die Berechnung von 
(mittels Substitution 
und anschließender partieller Integration) ergibt 
.
Daraus folgt:
