Der Lehrer, der nebenbei Imkerei betrieb, benötigte Zeit zum Einfangen eines Bienenschwarmes. Deshalb stellte er seinen Schülern eine Aufgabe, die sie einige Zeit beschäftigen sollte. Sie sollten die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Er hatte die Aufgabe gerade formuliert und wollte gehen, da rief bereits der neunjährige GAUSS mit 5050 das richtige Ergebnis.
GAUSS hatte nicht wie seine Mitschüler brav
gerechnet, sondern überlegt, dass 
stets 101 ergibt und dass man genau 50 derartige Zahlenpaaare bilden kann,
womit man als Ergebnis 
erhält.
Ausgehend von dieser Anekdote ergeben sich Fragestellungen wie die folgenden:
- Wie würde das Ergebnis lauten, wenn nur die geraden Zahlen zu addieren wären?
- Was käme heraus, wenn man eine andere Zahl als obere Grenze setzt und vielleicht nur jede dritte (siebte, 23., ...) Zahl addiert und dabei nicht immer bei 1 beginnt?
Solche Fragen (die typisch sind für das Streben der Mathematik nach Verallgemeinerungen und damit nach Lösungen, die für einen möglichst großen Bereich gelten) führen zum Begriff der arithmetischen Zahlenfolge sowie zu den Bildungsgesetzen und Partialsummen derartiger Folgen.
Eine arithmetische Zahlenfolge
ist dadurch gekennzeichnet, dass die Differenz d zwischen zwei benachbarten
Gliedern immer gleich ist, d.h., dass für alle Glieder der Folge
gilt:
Durch Angabe der Differenz d und des Anfangsgliedes
ist
die gesamte Folge bestimmt, denn es gilt:
(Rechenbespiel
2)
- Beispiel 1:
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
Auch durch Angabe eines beliebigen Gliedes 
und der Differenz d ist die
arithmetische Folge eindeutig bestimmt.
- Beispiel 2:
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
Kennt man das Anfangsglied
und ein beliebiges anderes Glied einer arithmetischen Folge, kann man
die Differenz berechnen. Es gilt:
- Beispiel 3:
Gegeben:
Gesucht: d
Lösung:
Kennt man zwei beliebige Glieder einer arithmetischen
Folge, kann man daraus das Anfangsglied
und die Differenz d berechnen, indem das entsprechende Gleichungssystem
mit zwei Unbekannten gelöst wird.
- Beispiel 4:
Gegeben:
Gesucht:;
d
Lösung:
Eine arithmetische Folge ist genau dann monoton
wachsend (steigend), wenn 
ist, sie ist genau dann monoton fallend,
wenn 
ist. Für den Fall 
entsteht die konstante Folge 
.
- Bei einer arithmetischen Zahlenfolge ist jedes
Glied (mit Ausnahme des Anfangsgliedes) das arithmetische
Mittel seiner beiden Nachbarglieder (woraus sich auch der Name
arithmetische Folge erklärt).
Beweis:
Die Partialsummen
arithmetischer Folgen lassen sich relativ einfach mit folgenden Formeln
berechnen (Rechenbespiel 3)
bzw.
- Beispiel 5:
Gegeben:
Gesucht:
Lösung:
Sind 
(und damit n) sowie
bekannt, lässt sich die Differenz d berechnen.
- Beispiel 6:
Gegeben:
Gesucht: d
Lösung:
Die Folge 
ist keine arithmetische Folge. Die Differenzen zwischen zwei benachbarten
Gliedern wachsen, je größer die Glieder werden.
Betracht man aber die Folge 
der Differenzen, so erhält man mit 
eine arithmetische Folge mit dem Anfangsglied 3 und der Differenz 2. Damit
kann man das Glied 
berechnen, es gilt 
.
Eine solche Folge (wie hier die der Quadratzahlen), bei der die Differenzen
der einzelnen Glieder eine arithmetische Folge ergeben, nennt man auch
eine arithmetische Folge 2. Ordnung.
Analog kann man auch arithmetische Folgen
höherer Ordnung aufbauen (wie das folgende Beispiel zeigt).
- Beispiel:
