Zum Begriff des
bestimmten Integrals gelangt man über die Berechnung des Inhalts von
Flächen unter den Graphen von Funktionen der Form 
,
d.h. von Funktionen einer Variablen.
Überträgt man dieses Vorgehen auf Funktionen zweier Variablen
der Form 
, so
gelangt man zum Begriff des Bereichsintegrals
(auch Gebietsintegral genannt).
In der xy-Ebene eines rechtwinkligen xyz-Koordinatensystems sei ein beliebiger,
jedoch beschränkter Bereich G gegeben, der messbar ist (hier zu verstehen
als: dessen Inhalt bestimmbar ist). Für diesen Bereich sei eine beschränkte
Funktion f mit erklärt, von der zunächst angenommen wird, dass sie in G nicht
negativ ist.
Es werde dann mit K diejenige räumliche Punktmenge bezeichnet, für
deren Punkte 
|
(1) |
der in der xy-Ebene liegende Punkt mit den Koordinaten
(x; y) zu G gehört und |
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(2) |
ist. |
Setzt man voraus, dass der Rand von G eine geschlossene
Kurve und die Funktion
über G stetig ist, so wird K unten von der xy-Ebene, seitlich von der
durch den Rand von G gehenden und zur xy-Ebene senkrechten Zylinderfläche
und oben von dem durch die Gleichung
dargestellten Flächenstück begrenzt (Bild 1). Dieser räumliche
Bereich K besitzt ein Volumen zu, das man mithilfe des entsprechenden Bereichsintegrals
berechnen kann.
Bereichsintegral nennt
man ein Integral einer Funktion mehrerer Variabler, wobei der Integrationsbereich
eine beschränkte und messbare Teilmenge des Variablengrundbereichs
ist.
Das Integral der Funktion
über dem Gebiet G schreibt man in der Form 
.
Es gilt dann also V = .
Bereichsintegrale können häufig auf zweifache
Integrale zurückgeführt werden, wenn zusätzlich der
Begriff eines Normalbereichs (eines rechteckigen [xy-]Bereichs) eingeführt
wird.