Jeder der fünf
Elfmeterspezialisten des Fußballvereins Rodatal verwandelt einen Elfmeter
erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,80. Beim Pokalausscheid
mit dem Ortsrivalen kommt es zum Elfmeterschießen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
verwandeln die Rodataler genau vier ihrer fünf Elfmeter?
Um diese Frage zu beantworten, modellieren wir die fünf Elfmeterschüsse
der Rodataler Fußballer durch eine BERNOULLI-Kette, die allgemein wie folgt definiert ist:
- Eine n-fach und unabhängig voneinander ausgeführte Realisierung eines BERNOULLI-Experiments mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p heißt BERNOULLI-Kette der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p oder kurz BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p.
Das Elfmeterschießen der Rodataler Fußballer ist also eine BERNOULLI-Kette der Länge 5 und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit 0,80. Dabei muss beachtet werden, dass sowohl die Unabhängigkeit der einzelnen "Schuss-Vorgänge" als auch die gleichbleibende Erfolgswahrscheinlichkeit idealisierte Annahmen sind, wie es vielfach bei der Beschreibung realer Vorgänge durch eine BERNOULLI-Kette der Fall ist.
Eine BERNOULLI-Kette mit den Parametern n und p ist ein n-stufiges
Zufallsexperiment. Sein Baumdiagramm weist auf jeder Stufe zwei
Ergebnisse auf, nämlich Erfolg (1) und
Misserfolg (0), wobei jede Übergangswahrscheinlichkeit
zum Erfolg p beträgt und zum Misserfolg 
(Bild 1). Dieses Zufallsexperiment besitzt also genau 
Ergebnisse. Jedes Ergebnis ist ein n-Tupel 
,
wobei jede Koordinate entweder den Wert 1 oder den Wert 0 besitzt. Ein
solches Ergebnis tritt mit folgender Wahrscheinlichkeit ein:
Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit erfordert keinen hohen Aufwand.
Da die Erfolge jeweils mit 1 und die Misserfolge mit 0 bezeichnet sind,
kann die Anzahl der Erfolge bzw. der Misserfolge jeweils als Summe der
geschrieben
werden. Man erhält:
Hieraus ergibt sich, dass jedes atomare Ereignis 
mit derselben Anzahl k von Erfolgen die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt.
Da es genau 
derartige Ergebnisse
mit genau k Erfolgen gibt, berechnen sich die Wahrscheinlichkeiten der
Anzahl von Erfolgen bei zusammengesetzten Ereignissen nach der sogenannten
BERNOULLI-Formel:
Anmerkung: Der Binomialkoeffizient
wird durch das Zählprinzip für Mengen geliefert.
Mit der BERNOULLI-Formel kann jetzt auch die eingangs gestellte Frage
beantwortet werden. Es ist:
Zur Simulation einer
BERNOULLI-Kette der Länge n und mit der Erfolgswahrscheinlichkeit
p lässt sich die auf dem TI-92 zu programmierende Funktion simbin
(s. Bild 2) nutzen.
Gibt man im HOME-Editor zum Beispiel 
ein, so wird auf dem Bildschirm eine Liste der Länge 
angezeigt, in der 1 für Erfolg und 0 für
Misserfolg steht.
(Die zusätzliche Eingabe
eines sich von Simulation zu Simulation ändernden, aber ansonsten
beliebigen x-Wertes dient der Initialisierung des Zufallsgenerators. Verändert
man den x-Wert nicht, so werden dieselben Listen erstellt.)
Die angezeigte Liste stellt zugleich eine Simulation der fünf Elfmeterschüsse
der Rodataler Sportler dar.
Mit der Funktion 
könnten die fünf Elfmeterschüsse der gegnerischen Mannschaft
simuliert werden, wenn deren Elfmeterschützen erfahrungsgemäß
eine Erfolgswahrscheinlichkeit von jeweils 0,70 haben. Zählt man
die entsprechenden Treffer (Einsen) aus, kann festgestellt werden, welche
der beiden Mannschaften das "Elfmeterschießen" gewonnen
hat.
Anregung: Diese Prozedur könnte man 100-mal
wiederholen und zum Beispiel untersuchen, wie oft die Rodataler Fußballer
als die besseren Elfmeterschützen diese Art des Elfmeterschießens
verlieren.