Die Mathematik
stellt ein vielfältig verwobenes System von mathematischen Begriffen,
Aussagen, Axiomen, Regeln usw. unterschiedlicher Abstraktionshöhe dar,
das in einer langen Geschichte gewachsen ist und sich ständig weiterentwickelt.
Dieser Prozess hat dabei seine Ursache sowohl in inneren Bedürfnissen
der Mathematik selbst als auch in Anforderungen der Praxis.
Das Theoriegebäude der Mathematik fußt auf nicht definierten,
sondern lediglich durch ihre wechselseitigen Beziehungen charakterisierten
Grundbegriffen sowie auf normativen Festlegungen,
die im jeweiligen mathematischen System nicht zu beweisen sind, den sogenannten
Axiomen. Über dieser Basis erhebt
sich ein Geflecht von (abgeleiteten, definitorisch festgelegten) Begriffen
und durch Beweise gesicherten Aussagen, den mathematischen Sätzen.
Daneben stehen Aussagen, deren Wahrheitswert noch nicht bewiesen werden
konnte und die deshalb den Charakter von Vermutungen tragen.
Der Beweis für den Großen fermatschen Satz und die Lösung
des Vierfarbenproblems gelangen so erst in jüngerer Vergangenheit.
Als Großer
fermatscher Satz wird die Aussage bezeichnet, dass die Gleichung 
für natürliche Zahlen n > 2
keine von null verschiedenen ganzzahligen Lösungen besitzt. PIERRE DE
FERMAT (1601 bis 1665, Bild 1) formulierte seine Behauptung als Randnotiz
bei der Beschäftigung mit den Werken des DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA
(um 250), versehen mit dem Vermerk, dass er einen wunderbaren Beweis für
deren Richtigkeit gefunden habe, doch der Blattrand zu schmal sei, um
ihn anzugeben. So einfach die als eine Art Verallgemeinerung des bekannten
Lehrsatzes von PYTHAGORAS (mit unendlich vielen pythagoreischen Zahlentripeln
als Lösungen) zu verstehende Aussage zu sein scheint: Fast dreieinhalb
Jahrhunderte sollte es dauern, bis es ANDREW WILES (geb. 1953) im Jahre
1993/94 gelang, unter Einsatz komplizierter Erkenntnisse und Hilfsmittel
der Algebra, der analytischen Geometrie sowie der Zahlentheorie den Beweis
der fermatschen Behauptung zu erbringen.
Als Vierfarbenproblem
- aufgeworfen im Jahre 1852 durch den Engländer FRANCIS GUTHRIE
(1831 bis 1899) - bezeichnet man die Frage, ob jede Landkarte so
mit vier Farben gefärbt werden kann, dass benachbarte Länder
stets verschiedenfarbig gekennzeichnet werden (Bild 2 zeigt ein Beispiel).
Über 100 Jahre vergingen, bis der korrekte Nachweis erbracht wurde,
dass dies immer möglich ist. Da der Beweis der amerikanischen Mathematiker
KENNETH APPEL und WOLFGANG HAKEN (Universität Illinois) aus dem Jahr
1976 sich vorrangig Computerberechnungen bediente und folglich vom Menschen
nicht "per Hand" nachvollzogen werden konnte, hatte er eine
kontroverse Diskussion zur Folge.
Zu den bis heute nicht gelösten mathematischen Problemen zählt
beispielsweise der Beweis jener Vermutung, die im Jahre 1742 von CHRISTIAN
GOLDBACH (1690 bis 1764) in einem Brief an LEONHARD EULER formuliert wurde.
Diese sogenannte (binäre) goldbachsche
Vermutung besagt: Jede gerade Zahl größer
oder gleich 4 lässt sich als Summe zweier Primzahlen darstellen
(wobei GOLDBACH selbst, der die 1 zu den Primzahlen zählte, allerdings
die hierzu äquivalente Fassung Jede gerade Zahl
größer als 2 lässt sich als Summe dreier Primzahlen schreiben
verwendete). Im Jahre 1855 bestätigte A. DESBOVES die goldbachsche
Vermutung für natürliche Zahlen bis 10000.
Im 20. Jahrhundert stieg diese Obergrenze durch die Verwendung von elektronischen
Hochleistungsrechnern schnell an und erreichte inzwischen die Zahl 
.
Ebenfalls noch nicht verifiziert wurde die Annahme, dass
es unendlich viele Primzahlzwillinge
gibt. Dabei versteht man unter Primzahlzwillingen - diese Bezeichnung
wurde erstmals von PAUL STÄCKEL (1862 bis 1919) benutzt - solche
Primzahlen, zwischen denen in der Folge der natürlichen Zahlen nur
genau eine andere Zahl steht, die also "den Abstand 2" haben.
Mit anderen Worten: Zwei Primzahlen 
heißen genau dann Primzahlzwillinge, wenn 
gilt.
Die kleinsten Zwillinge sind also (3; 5),
es schließen sich die Paare (5; 7), (11; 13), (17; 19) usw.
an. Da man keine Bildungsvorschrift für solche Paare kennt, bleibt
nur die Möglichkeit, Proberechnungen durchzuführen.
Für
Ende 2002 wurde von STEFFEN POLSTER als größtes bislang bekanntes Zwillingspaar 
(Zahlen mit 51090 Stellen) angegeben.
Neben den hier genannten gibt es noch eine große Zahl mathematischer Probleme, die erst nach langem Bemühen gelöst werden konnten - und ebenso solche, die noch einer Lösung harren.