Der Wert eines
bestimmten Integrals hängt von der Integrandenfunktion und den Integrationsgrenzen
ab. Bei gegebener Integrandenfunktion können sich Untersuchungen am
bestimmten Integral auf die Überprüfung des Einflusses von Veränderungen
der Integrationsgrenzen beschränken. Lässt man überdies bei
der Berechnung von 
die untere Grenze a fest und verändert allein die obere Grenze b, so
erhält man für jede Zahl b (b > a) eine eindeutig bestimmte
Zahl.
Es entsteht eine Menge geordneter Paare 
,
die eine Funktion 
ist.
Mit anderen Worten: Das bestimmte Integral
ist bei fester unterer Grenze a eine Funktion
der oberen Integrationsgrenze.
Da es üblich ist, das Argument einer Funktion mit x (statt hier mit
b) zu bezeichnen, wählen wir für die Integrationsvariable eine andere Bezeichnung, z.B. t (statt x), und erhalten 
.
Definition:
Gegeben sei eine Funktion f. Die Funktion 
,
die jedem x den Wert des Integrals 
zuordnet, heißt Integralfunktion
von f mit der unteren Grenze a. Der Definitionsbereich der Integralfunktion
ist die Menge aller x, für die das Integral
existiert.
Man muss den Unterschied zwischen den Begriffen Integralfunktion
und Integrandenfunktion beachten:
ist die Integralfunktion,
f(t) die Integrandenfunktion (der Integrand).
Bildet man die Ableitung der Integralfunktion, so erhält man den
Integranden. Die Integralfunktion
ist also eine Stammfunktion des Integranden f.
Satz:
Für eine im Intervall [a; b]
stetige Funktion f ist die Funktion
mit eine Stammfunktion von f im Intervall [a; b].
Da die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f das unbestimmte
Integral dieser Funktion ist, stellt dieser Satz einen Zusammenhang ziwschen bestimmtem und unbestimmtem Integral her.
Beweis des Satzes:
Es seien f eine beliebige, im Intervall [a; b] stetige Funktion und die Funktion mit .
- Wenn man zeigen will, dass eine Stammfunktion von f ist, so muss man nachweisen, dass
für alle 
gilt.
Es wird zu diesem Zweck zunächst der Differenzenquotient von gebildet:
Nun gilt
Deshalb folgt für den obigen Differenzenquotienten:
- Wir schätzen den Differenzenquotienten
nach oben ab
(Fall h > 0):
Da f eine stetige Funktion ist, existieren im Intervall 
ein kleinster Funktionswert 
und ein größter Funktionswert 
.
Nach der Definition des bestimmten Integrals gilt dann
- Wir berechnen den Grenzwert des Differenzenquotienten für
:
Aus obiger Ungleichung folgt:
(*)
Da f stetig ist, gilt 
.
Somit ergibt sich aus der Ungleichung (*):
Zum gleichen Ergebnis gelangt man für den Fall h < 0.
Damit ist gezeigt:
w. z. b. w.