Die formale Definition
des absoluten Betrages (Absolutbetrags)
einer reellen Zahl x ist die folgende:
Aus dieser Definition folgt, dass immer 
gilt. Weiter ist Null die einzige Zahl, für die der Absolutbetrag gleich
null ist. Das kann kurz und bündig folgendermaßen formuliert
werden:
Der Absolutbetrag erkennt die "Größe" einer Zahl, ohne
dabei auf das Vorzeichen zu achten. Die Tatsache, dass er das Vorzeichen
ignoriert, lässt sich mathematisch als 
schreiben.
Auf der Zahlengeraden ist der Absolutbetrag der (stets nicht negative)
Abstand einer Zahl vom Nullpunkt. Eine Größe 
stellt den (positiv genommenen) Abstand zwischen den beiden Punkten 17,3
und 19,3 auf der Zahlengeraden dar (welcher sich als 2 erweist). Diese
Bezeichnungsweise ist wichtig, wenn von zwei Zahlen gesagt werden soll,
dass sie nahe beieinander liegen (wobei egal sein soll, welche die größere
ist). Das Bequeme daran ist, dass man dabei nicht auf die Reihenfolge
achten muss, da immer die folgende Beziehung gilt:
(was aus
folgt)
Sind die beiden Punkte x und y voneinander verschieden und liegen nahe
beieinander, so ist 
klein (und positiv). Sind die Punkte gleich, so ist 
.
Diese Eigenschaft des Absolutbetrags verwenden wir in der Mathematik sehr
oft.
Im Folgenden sollen wesentliche Eigenschaften
des Absolutbetrags angeführt werden.
Für alle reellen Zahlen a und b gilt:
(
Es ist klar, dass für jede reelle Zahl a gilt:
Wir beweisen nun die folgende Aussage (Dreiecksungleichung):
1. Fall: Sei 
.
Dann erhalten wir 
und wegen 
unmittelbar 
.
2. Fall: Sei 
.
Mit 
erhalten wir dann 
.
Leicht zu zeigen ist auch Folgendes:
Wenn 
,
dann 
.
Rechnen mit Beträgen
- Beispiel 1: Berechnen Sie
Lösung:
- Beispiel 2: Beweisen Sie:
Lösung: Es ist klar, dass gilt:
Daraus folgt sofort. - Beispiel 3: Zeigen Sie:
Lösung: Nach Definition des Grenzwertes muss es für alle
ein 
geben mit
Es ist
Das heißt, für alle x mit
gilt 
,
also 
und
. - Beispiel 4: Lösen Sie nach
x auf:
Lösung: Wir schreiben die Gleichung um:
Sei
,
dann ist 
und somit 
.
Aus folgt,
und
aus 
schließlich 
.
Wir erhalten also folgende Lösungsmenge:
Betragsfunktion wird jene Funktion
genannt, die jeder Zahl ihren Absolutbetrag zuordnet, d.h. 
.
Sie ist ein Beispiel für eine Funktion, deren einfachste Definition
nicht als Termdarstellung, sondern mit Hilfe einer Fallunterscheidung
(s.o.) geschieht. Der Graph dieser Funktion ist in Bild 1 dargestellt.
Mit dem Rechenbeispiel
können beliebige Betragsfunktionen grafisch dargestellt werden.
Im Folgenden werden einige weitere Beispiele grafischer Darstellungen von Funktionen mit Beträgen angegeben:
-
(Bild 2)
Für
gilt: 
Für
gilt: 
-
(Bild 3)
Es ist:
Diese Funktion hat die gleichen Nullstellen wie 
.
Der Graph entsteht aus dem Graphen jener Funktion durch Spiegelung des
unterhalb der x-Achse gelegenen Teiles an der Abszissenachse.