Sätze der ebenen Geometrie lassen sich mithilfe von Vektoren mitunter sehr knapp und übersichtlich beweisen. Auf der Grundlage entsprechender Figuren, in denen die relevanten Stücke vektoriell gekennzeichnet werden, formuliert man Voraussetzungen und Behauptung jeweils mittels Vektoren und versucht, durch logische Schlüsse unter Verwendung der Rechengesetze für Vektoren den Beweis zu führen. Die folgenden Beispiele illustrieren diese Vorgehensweise.
Beispiel 1:
Man beweise: In einem Dreieck
ist die Verbindungsstrecke zweier Seitenmittelpunkte parallel zur dritten
Seite und halb so lang wie diese (vgl. Bild 1).
Voraussetzung:
Behauptung:
Beweis:
Mit 
folgt
.
w.z.b.w.
Beispiel 2:
Es ist zu beweisen, dass in einem Trapez
die Mittellinie (also die
Verbindungsstrecke der Schenkelmittelpunkte) parallel zu den Grundseiten
verläuft und halb so lang wie deren Summe ist (vgl. Bild 2).
Voraussetzung:
Behauptung:
Beweis:
Löst man beide Gleichungen nach 
auf, so folgt:
Durch Addition dieser beiden Gleichungen und Division durch 2 erhält
man schließlich:
w.z.b.w.
Beispiel 3:
Es ist nachzuweisen, dass die Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC
einander in einem Punkt S schneiden und dass dieser Schnittpunkt (der
Schwerpunkt des Dreiecks genannt
wird) jede Seitenhalbierende
im Verhältnis 
teilt.
Man zeige hierzu, dass 
für die Ortsvektoren der Punkte S, A, B bzw. C gilt (Bild 3).
Nachweis:
Wir vergleichen 
als Ortsvektoren bezüglich O.
Mit 
gilt:
Ebenso erhält man:
Alle drei zu vergleichenden Ortsvektoren beschreiben also den Schnittpunkt
S der Seitenhalbierenden eines Dreiecks ABC: 
.
Dieser Punkt S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis
.
Verwendet man außer Addition und Vervielfachung von Vektoren auch
noch multiplikative Verknüpfungen und deren Eigenschaften, so ergeben
sich weitere Anwendungsmöglichkeiten.
Beispiel 4:
Man beweise den Satz
des THALES auf vektoriellem Wege.
Mit den Bezeichnungen aus nebenstehendem Bild 4 gilt:
Voraussetzung:
Behauptung:
Beweis:
Wegen 
, gilt
damit 
, d.h.:
Damit folgt .
w.z.b.w.