Gilt es, Wahrscheinlichkeiten
zum Beispiel im Zusammenhang mit der Binomialverteilung
oder mit dem Abzählprinzip für
die Gleichverteilung zu berechnen,
werden als Binomialkoeffizienten bezeichnete Terme verwandt. Es sind dies
die Koeffizienten, die beim Entwickeln der n-ten Potenz eines Binoms 
auftreten.
Binomialkoeffizienten lassen sich nach der rekursiven Bildungsvorschrift
des bekannten pascalschen Dreiecks (Bild
1) ermitteln. Ein solches Vorgehen hat aber den Nachteil, dass für
die Berechnung der Koeffizienten von 
die von 
bekannt sein müssen.
Günstiger und effektiver ist es daher oftmals, die folgende Definition
als explizite Bildungsvorschrift
zu verwenden.
- Als Binomialkoeffizienten
(gelesen:
n über k) bezeichnet man den Term 
mit
und
.
Anmerkung: Der in der Definition auftretende
Term n! (gelesen: n Fakultät) besitzt
die folgende explizite Bildungsvorschrift:
Die rekursive Bildungsvorschrift von n! lautet:
- Beispiel (s. auch interaktives
Beispiel 1):
Die Binomialkoeffizienten sind bei vielen Taschenrechnern mittels einer speziellen (Tasten-)Funktion nCr auch direkt abrufbar.
Rechenregeln für Binomialkoeffizienten
- Regel 1:
Beweis:
Im pascalschen Dreieck haben daher alle Randzahlen den Wert 1.
- Regel 2:
Im pascalschen Dreieck bilden daher sowohl die zweiten als auch die vorletzten
Zeilenzahlen die Folge der natürlichen Zahlen.
- Regel 3:
Daraus ergibt sich im pascalschen Dreieck die symmetrische Anordnung
der Zahlen.
- Regel 4:
Beweis: Die linke Seite der zu beweisenden
Gleichung wird schrittweise so umgeformt, bis man die rechte Seite erhält:
Im pascalschen Dreieck entspricht diese Regel der folgenden rekursiven
Bildungsvorschrift: Die inneren Zahlen jeder Zeile entstehen, indem
die zwei darüber stehenden benachbarten Zahlen addiert werden.
- Regel 5:
Anmerkung: Die Regeln 2, 3 und 5 werden ähnlich
wie die Regeln 1 und 4 mithilfe der allgemeinen Definition für Binomialkoeffizienten
und der Kürzungsregel für Fakultäten bewiesen.
Im Folgenden werden einige Anwendungen der
Binomialkoeffizienten angegeben.
- Binomischer Lehrsatz
(s. Bild 2 und interaktives Beispiel 2):
Spezialfall 
:
Beim Zahlenlotto "6 aus 49" gibt es insgesamt
verschiedene Tipps.
- Urnenmodell ohne Zurücklegen
Beim Zahlenlotto "6 aus 49" beträgt die Wahrscheinlichkeit
für genau k Richtige
Die Wahrscheinlichkeit, beim viermaligen Werfen eines idealen Würfels,
dessen Seitenflächen mit 1 bis 6 durchnummeriert sind, genau k Einsen
zu werfen, beträgt:
Abschließend sollen noch zwei Verallgemeinerungen des Begriffes der Binomialkoeffizienten angegeben werden.
Diese Verallgemeinerung wird in der Analysis angewandt (TAYLOR-Reihen
von Funktionen) und kann auch häufig mit der Taschenrechner nCr-Funktion
berechnet werden, z.B. ist (s. auch Bild 3 und interaktives Beispiel 3):
Die angegebene Verallgemeinerung des Begriffs der Binomialkoeffizienten
wird bei der Angabe der mittels TAYLOR-Entwicklung gewonnenen binomischen
Reihe genutzt. Es gilt:
Dies ermöglicht z.B. die Angabe von Näherungsformeln wie die
folgende:
