Funktionen, Darstellung

Für die Darstellung oder Beschreibung von Funktionen gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Sind Definitions- und Wertebereich Mengen reeller Zahlen (handelt es sich also um reelle Funktionen), so kommen vor allem die folgenden Varianten in Frage:

• Angabe der (geordneten) Paare einander zugeordneter Elemente aus Definitions- und Wertebereich
  (nur möglich bei endlicher Paaranzahl);
• Beschreibung der Zuordnungsvorschrift in Worten (Wortvorschrift; verbale Beschreibung);
• Angabe einer die Zuordnung vermittelnden Gleichung
  (in diesem Falle nennt man die Funktionsgleichung und den Funktionsterm);
• Darstellung der einander zugeordneten Elemente in einer Wertetabelle
  (nur möglich bei endlicher Paaranzahl);
• Beschreibung durch grafische Darstellungen, z.B. durch ein Pfeildiagramm oder durch Deuten der Zahlenpaare als die Koordinaten von Punkten in einem kartesischen Koordinatensystem
  ( wodurch man einen Graphen der Funktion erhält)

Wir veranschaulichen diese Darstellungsformen mit Bezug auf die folgenden zwei Beispiele.

• Beispiel 1

In Wetterstationen wird täglich unter anderem zu bestimmten Zeiten die Lufttemperatur gemessen und aufgezeichnet. Das Ergebnis einer solchen Messung enthält die nachfolgende Tabelle:

Beispiel 2 In eine "Rechenmaschine" (s. nebenstehendes Bild) geben wir Zahlen ein. Die Maschine ist so konstruiert, dass sie zu jeder eingegebenen Zahl genau das Dreifache ausgibt: Aus 2 wird auf diese Weise 6, aus 3 wird 9, aus wird usw.

Die folgende Tabelle gibt für diese Beispiele die verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten an:

Im Unterschied zur Beschreibung mittels einer Funktionsgleichung wird eine reelle Funktion durch die anderen Darstellungsformen oft nur unvollständig gekennzeichnet. Die Wortvorschrift findet vor allem immer dann Anwendung, wenn sich die Zuordnung nicht oder nur sehr schwer bzw. umständlich durch eine Gleichung ausdrücken lässt.

Neben den oben angeführten Darstellungsarten für Funktionen nutzt man auch die sogenannte Parameterdarstellung. Sie ist dadurch charakterisiert, dass sowohl die Variable x als auch die Variable y jeweils für sich durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden, die einen (gemeinsamen) Parameter t als unabhängige Variable enthält. In diesem Falle gilt also:



Wird nun nach Wahl eines bestimmten Parameters dem Wert jeweils der Wert zugeordnet, so erhält man auf diese Weise eine Abbildung des Wertebereichs von auf den Wertebereich von (die u.U. aber nicht eindeutig ist).

• Beispiel 3

Es sei mit Dann erhält man folgende Wertetabellen:

t	-9	-6	-3	0	3	6	9
	-3	-2	-1	0	1	2	3
	-54	-36	-18	0	18	36	54

Die Zuordnung von x zu y ist im vorliegenden Falle offensichtlich eindeutig. Es gilt Diese Gleichung kann man auch aus den obigen Parametergleichungen durch Elimination von t erhalten:
Mit gilt

Beispiel 4 Durch die folgenden Gleichungen wird eine Funktion gegeben, deren Graph ein Halbkreis um den Koordinatenursprung ist (s. nebenstehendes Bild):