Auf den griechischen
Philosophen ZENON von Elea (490 bis 430 v.Chr., Bild 1) gehen eine Reihe
von Paradoxa (griech.: widersinnige Behauptungen) zurück. Das bekannteste
davon ist wohl das Paradoxon von ACHILLES und
der Schildkröte.
ZENON behauptet darin, dass ACHILLES (griechischer Held des Trojanischen
Krieges und als Schnellläufer berühmt) eine Schildkröte,
die einen Vorsprung von einem Stadion (etwa 192,27 m) habe, niemals einholen
könne, obwohl er mit der zwölffachen Geschwindigkeit wie diese
laufe.
Dies begründete ZENON folgendermaßen: Hat ACHILLES das eine Stadion
(also den ursprünglichen Vorsprung der Schildkröte) zurückgelegt,
ist die Schildkröte bereits 
Stadion weiter, absolviert ACHILLES den Weg von
Stadion (also den noch verbliebenen Vorsprung der Schildkröte), so
ist die Schildkröte erneut weiter, und zwar um nun 
Stadion usw.
Immer dann, wenn ACHILLES also dort ankommt, wo die Schildkröte zuvor
war, ist diese schon wieder an einem neuen Ort. Ihr Vorsprung vor ACHILLES
verringert sich zwar immer mehr, verschwindet aber nie. Folglich könne
er die Schildkröte niemals einholen.
Da dies jeglicher praktischen Erfahrung widerspricht, glaubte ZENON, die
Unzulänglichkeit der Mathematik nachgewiesen zu haben.
Tatsächlich war jenes zenonsche Paradoxon mithilfe der griechischen Mathematik nicht zu widerlegen, da der dazu erforderliche Begriff des Grenzwertes nicht bekannt war. Im Folgenden soll nun der (scheinbare) Widerspruch geklärt werden.
Wann holt ACHILLES die Schildkröte
ein?
Es sei s der (ursprüngliche) Vorsprung der Schildkröte, diese
bewege sich mit der (konstanten) Geschwindigkeit 
und ACHILLES habe die Geschwindigkeit 
(mit 
).
Wir gehen davon aus, dass ACHILLES die Schildkröte nach einer bestimmten
Zeit t einholt. Dann gilt für die Wege (s. auch das Weg-Zeit-Diagramm):
Hieraus lässt sich die Zeit t ermitteln, und wir erhalten das folgende
Ergebnis:
Inwieweit korrespondiert nun dieses Ergebnis mit den Überlegungen
ZENONS?
Danach legt ACHILLES den (ursprünglichen) Vorsprung s der
Schildkröte in einer Zeit 
zurück, währenddessen die Schildkröte einen (neuen) Vorsprung
gewinnt. Dieser
wiederum wird durch ACHILLES in der Zeit 
durchlaufen. In der Zeit 
"erarbeitet" sich die Schildkröte einen Vorsprung 
,
für den ACHILLES die Zeit 
benötigt usw.
Für die Summe der Zeiten gilt dann:
Bei dieser Summe handelt es sich um eine unendliche geometrische Reihe,
die wegen 
konvergiert.
Nach der entsprechenden Summenformel ergibt sich:
Dieses Ergebnis stimmt mit unseren obigen Überlegungen überein.
Der (scheinbare) Widerspruch bestand darin, dass sich die griechischen
Philosophen und Mathematiker zur Zeit ZENONS nicht vorstellen konnten,
dass eine Addition unendlich vieler Summanden unter bestimmten Bedingungen
einen endlichen Wert ergeben kann.