Beim Aufbau des
Bereiches der reellen Zahlen kann gezeigt werden, dass es zwischen den überall
dicht liegenden rationalen Zahlen noch irrationale Zahlen (wie etwa 
)
gibt. Irrationale Zahlen und rationale Zahlen bilden dann zusammen den Bereich
der reellen Zahlen. So kann der Begriff der reellen
Zahl naiv, auf der Anschauung beruhend, gefasst werden.
Eine exakte Definition des Begriffs reelle Zahl gab RICHARD DEDEKIND (1831
bis 1916, Bild 1). Sein grundlegender Gedankengang wird im Folgenden skizziert,
wobei zunächst der Begriff
des dedekindschen Schnittes erklärt werden soll.
Dedekindsche Schnitte in der Menge
der rationalen Zahlen
Die Menge 
der rationalen Zahlen werde so in zwei Teilmengen
A und B zerlegt, dass für jedes 
und jedes 
die Beziehung 
gilt.
Für jede beliebig kleine positive Zahl 
gibt es dann ein 
und ein 
,
sodass 
gilt. Das heißt: Man kann aus den Mengen B und A stets je ein Element
so auswählen, dass deren Differenz kleiner als jede vorgegebene positive
Zahl wird. Dies ist möglich, weil die rationalen Zahlen überall
dicht liegen.
Unter diesen Voraussetzungen gibt es eine und nur eine Zahl t, für
die für jedes Element a aus A und jedes Element b aus B gilt:
Diese Zahl t trennt die Mengen A und
B und heißt dedekindscher Schnitt,
man schreibt auch 
.
Die Zahl t ist eine reelle Zahl.
Anmerkung: Die Zahl t kann einer der Mengen
A oder B (oder beiden) angehören, muss dies aber nicht (s. folgende
Beispiele).
- Beispiel 1: Es sei
.Die Menge A enthält alle rationalen Zahlen 
,
für die 
gilt; die Menge B enthält alle reellen Zahlen 
,
für die 
gilt. Damit gehört die Zahl 3 sowohl zur Menge A als auch zur Menge
B. Die Bedingung
ist damit erfüllt, da 
ist.
- Beispiel 2: Es sei
.
Die Menge A enthält alle rationalen Zahlen ,
für die 
gilt (die Gleichheit scheidet aus, weil 
keine rationale Zahl ist). Die Menge B enthält dann alle reellen
Zahlen ,
für die 
gilt. Die Zahl
gehört also weder zur Menge A noch zur Menge B.
Die Bedingung
ist aber dennoch erfüllbar, weil die rationalen Zahlen überall
dicht liegen:
Setzt man etwa 
,
so erfüllen 
die Bedingung, denn 
und es gilt auch 
,
denn 
und 
.
Setzt man 
,
so erfüllen 
die Bedingung, denn 
und es gilt auch 
,
denn 
.
Die oben getroffene Aussage, es gibt eine und nur eine reelle Zahl ,
für die unter den getroffenen Voraussetzungen 
gilt, beinhaltet die beiden folgenden Aussagen:
(a) es gibt mindestens eine solche Zahl (Existenz)
(b) es gibt höchstens eine solche Zahl (Eindeutigkeit)
Die Aussage (a) beweist man durch Verallgemeinerung der genannten Beispiele.
Die Aussage (b) beweist man indirekt wie folgt: Angenommen, es gäbe
zwei verschiedene Zahlen 
,
wobei o.B.d.A 
die größere Zahl sei. Dann ist 
.
Es müsste dann gelten:
Aus der zweiten Ungleichung folgt dann 
,
was im Widerspruch zur Voraussetzung 
steht. Die Annahme, es gibt zwei verschiedene Werte für t war also
falsch.
Erweiterung für den Bereich der
reellen Zahlen
Der dedekindsche Schnitt
wird nun erweitert, indem man A und B als Teilmengen der reellen Zahlen
auffasst. Auch dann ist t eine reelle Zahl. Man sagt, die Menge der reellen
Zahlen ist abgeschlossen. Dies ist
gleichbedeutend damit, dass zu jeder reellen Zahl umkehrbar eindeutig
ein Punkt der Zahlengeraden gehört.
Für die so erfolgte Definition
der reellen Zahlen kann nun gezeigt werden, dass die für den
Bereich der rationalen Zahlen geltenden Gesetzmäßigkeiten in
gleicher Weise gelten, also insbesondere
- die Trichotomie, d.h.,
für zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der drei Beziehungen
; - das Kommutativgesetz der Addition
und der Multiplikation, d.h.
; - das Assoziativgesetz der Addition
und der Multiplikation, d.h.
- das Distributivgesetz der Addition
bezüglich der Multiplikation, d.h.
- die Monotonie der Addition bezüglich
der Kleiner-Relation; d.h.,
aus
folgt 
.
Anmerkung: Die Monotonie der Multiplikation bezüglich der Kleiner-Relation ist eingeschränkt, d.h., aus folgt
nur
für 
.