Der Fundamentalsatz der Algebra

In der Menge der reellen Zahlen besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form

höchstens n Lösungen.

Dabei können zwei Fälle unterschieden werden:

Fall 1: n geradzahlig
Die Gleichung kann in der Menge der reellen Zahlen unlösbar sein.
Beispiel: Die Gleichung besitzt keine reelle Lösung.
Fall 2: n ungeradzahlig
Die Gleichung besitzt in der Menge der reellen Zahlen mindestens eine Lösung.
Beispiel:
Aus der Faktorschreibweise ergibt sich die reelle Lösung

Besitzt eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades eine ganzzahlige Lösung so ist diese Teiler des Absolutgliedes
Für den Sonderfall, dass eine ganzrationale Funktion n-ten Grades n (reelle) Lösungen besitzt, kann eine vollständige Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren vorgenommen werden. Sei Lösungsmenge der Gleichung
Dann lautet die Darstellung in Linearfaktoren folgendermaßen:

Für den Bereich der komplexen Zahlen formulierte CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) im Jahre 1799 in seiner Dissertation:

Jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades der Form

besitzt mindestens eine Lösung.

Daraus entstand der Fundamentalsatz der Algebra:

Im Bereich der komplexen Zahlen besitzt jede ganzrationale Gleichung n-ten Grades genau n Lösungen.

Anmerkung: Diese n Lösungen müssen nicht notwendigerweise verschieden voneinander sein. Es können Lösungen mehrfach auftreten. Zählt man aber jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit, so muss sich insgesamt die natürliche Zahl n ergeben (interaktives Rechenbeispiel).

Beispiel 1:

Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:

Diese Gleichung ist erfüllt für Damit gilt
Mithilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man und damit nach Definition bzw.

Beispiel 2:
Wird die komplexe Zahl x in der goniometrischen Form geschrieben, ergibt sich nach der moivreschen Formel:

Daraus folgt , und
Damit ergibt sich bzw.
So besitzt die Gleichung dritten Grades für die Lösung , für die Lösung , für die Lösung und somit eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.