Mathematik Abitur
Der Multiplikationssatz für Ereignisse
Allgemeiner Multiplikationssatz für zwei Ereignisse im BaumdiagrammAllgemeiner Multiplikationssatz für n Ereignisse im BaumdiagrammBaumdiagramm zum Beispiel Simulation zum Multiplikationssatz (Beispiel)

In der Praxis steht man oftmals vor der Notwendigkeit, Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse der Gestalt zu berechnen. Dies erweist sich aber nicht immer als ganz einfach. Wir betrachten dazu ein Beispiel:

Anstatt alle 1000 Testpersonen mittels der Verfahren und zu untersuchen, wäre es günstiger, zuerst bei allen Probanden anzuwenden und dann nur bei jenen, bei denen einen positiven Befund ergeben hat. Aber wie lässt sich dann eine Wahrscheinlichkeitsaussage über das relevante Ereignis machen?
Wir betrachten dazu den allgemeinen Multiplikationssatz (Produktsatz) für zwei Ereignisse:

Bezüglich dieses Multiplikationssatzes stellen wir fest:

Kehren wir zu unserem Eingangsbeispiel zurück. Nimmt man fiktiv an, dass bei 290 Probanden das Verfahren einen positiven Befund ergeben hat und dass bei 35 von diesen 290 auch positiv war, so ergibt sich (wenn man für die betreffenden Wahrscheinlichkeiten näherungsweise die relativen Häufigkeiten verwendet):

Das Beispiel verdeutlicht auch die Erfahrung aus der Praxis, dass für Berechnungen häufig nicht die Formel für , sondern der gleichwertige Multiplikationssatz zur Berechnung von verwendet wird.

Verallgemeinerung des Multiplikationssatzes für n Ereignisse
Der allgemeine Multiplikationssatz (Produktsatz) für zwei Ereignisse lässt sich wie folgt für n Ereignisse verallgemeinern:

Diesen Multiplikationssatz kann man sich gut an einem n-stufigen Vorgang veranschaulichen (Bild 2). Das Ereignis kann gleichsam schrittweise entlang eines Pfades im n-Stufigen Baumdiagramm abgearbeitet werden:

Wir betrachten auch zum Multiplikationssatz für mehr als zwei Ereignisse ein Beispiel:

Es sei das Ergebnis der i-ten Ziehung mit und
Dann gilt (s. auch Bild 3):




Die Vermutung von Lars hat sich folglich als richtig erwiesen. Da Jonas zuerst ziehen durfte, hat er die größte Gewinnchance.

Es kann auch interaktiv untersucht werden, ob es möglich ist, die Werte für n und g so zu wählen, dass der Vorteil der ersten Ziehung hinsichtlich der Gewinnchancen der Nachziehenden ausgeglichen werden kann (s. Bilder 4 und 5).

Wird in obigem Beispiel die gezogene Kugel allerdings wieder zurückgelegt, dann würden die Chancen für den Nachziehenden, eine grüne Kugel zu ziehen, gleich bleiben, d.h., es würde gelten:

und

Die Information, dass Jonas eine weiße Kugel gezogen hat, bringt Lars in diesem Fall auch keine erhöhte Chance, eine grüne Kugel zu ziehen. Dies bedeutet, es liegt stochastische Unabhängigkeit vor.
Für n voneinander (vollständig) unabhängige Ereignisse vereinfacht sich der Multiplikationssatz zu folgender Aussage (spezieller Multiplikationssatz):

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