Moivre, Satz

Der Satz von MOIVRE – benannt nach ABRAHAM DE MOIVRE (1667 bis 1754, Bild 1) – sagt aus, wie die Multiplikation bzw. Division und das Potenzieren von in trigonometrischer Form vorliegenden komplexen Zahlen auf einfache Operationen für die Winkel und die Beträge der komplexen Zahlen zurückgeführt werden können.
Im Folgenden sollen für die einzelnen Rechenoperationen (s. interaktives Beispiel 1) die entsprechenden Formeln hergeleitet werden. Dazu seien komplexe Zahlen mit und

Multiplikation
Es ist

und nach Anwendung der Additionstheoreme für Winkelfunktionen ergibt sich:

Division
Es ist:

Da im Nenner gilt und Realteil und Imaginärteil des Zählers als Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen bekannt sind, folgt:

Potenzieren
Für das Potenzieren gilt:

Für natürliche Zahlen kann man dies wie folgt durch vollständige Induktion beweisen:

1. Die obige Formel ist sicherlich richtig für
2. Es werde angenommen, die Formel sei richtig für also
   Multipliziert man diese Gleichung mit z, so erhält man
   und nach Ausführen der Multiplikation
   

Ohne Beweis sei gesagt, dass die Aussage für das Potenzieren für beliebige reelle Zahlen gilt. Insbesondere heißt das, dass sich Wurzeln aus komplexen Zahlen damit berechnen lassen.