Rolle, Satz von

Für eine Reihe von Aufgabenstellungen der Differenzialrechnung, z.B. bei Kurvendiskussionen (Untersuchung des Monotonieverhaltens, der Existenz lokaler Extrema, des Vorhandenseins von Wendepunkten und des Krümmungsverhaltens von Funktionen) oder beim Berechnen von Näherungswerten von Funktionen sind die so genannten globalen Sätze von besonderer Bedeutung.
Zu diesen zählen unter anderem der Mittelwertsatz der Differenzialrechnung und der nachstehend betrachtete Satz. Dieser geht auf den französischen Mathematiker MICHEL ROLLE (1652 bis 1719) zurück und besagt Folgendes:

• Ist eine Funktion f im abgeschlossenen Intervall stetig und im offenen Intervall differenzierbar mit , dann existiert mindestens eine Stelle c zwischen a und b, also , so dass ist.

Beweis des Satzes von ROLLE
Man unterscheidet beim Beweis zwei Fälle.

• Fall 1: f ist in konstant
  Es gilt also für jedes und damit für alle .
• Fall 2: f ist in nicht konstant

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte für die Funktionswerte . Da f in stetig ist, nimmt f in einen größten Wert an.



Für genügend kleines gilt:

Strebt h nun gegen null, so folgt hieraus .
Im Falle wird analog gefolgert.

Einen Spezialfall des Satzes von ROLLE erhält man für :

• Zwischen zwei Nullstellen a und b einer Funktion f, die in stetig und in differenzierbar ist, liegt mindestens eine Nullstelle von .

Geometrisch bedeutet der Satz von ROLLE, dass es mindestens einen Kurvenpunkt in gibt, dessen Tangente parallel zur
x-Achse ist.

Wir betrachten noch zwei Beispiele zum Satz von ROLLE und zu seiner Anwendung.

• Beispiel 1

Die Funktion ist ein Beleg dafür, dass man im Satz von ROLLE nicht formulieren darf, dass genau eine Zahl existiere. Betrachtet man in , dann erfüllt f die Voraussetzungen des Satzes von ROLLE. Die Ableitungsfunktion ist . Für erhält man , woraus folgt (Bild 2).

• Beispiel 2: Für die Funktion ist im Intervall eine Stelle so zu bestimmen, dass die Tangente in an die Funktion f parallel zur x-Achse ist.

Für erhält man . Aus folgt und demzufolge .
Mit anderen Worten: An der Stelle besitzt die Funktion eine zur x-Achse parallele Tangente. Bild 3 veranschaulicht den Sachverhalt.