Auch der Zufall ist nicht unergründlich, er
hat seine Regelmäßigkeit.
(NOVALIS)
Betrachtet man reale zufällige Prozesse etwas genauer, so wird
man feststellen, dass sie nicht selten durch die Überlagerung einer
Vielzahl unabhängig voneinander wirkender kleiner Effekte zustande
kommen, die selbst zufälligen Charakter tragen. Das trifft z.B. auf
natürliche Wachstumsprozesse, auf Messvorgänge oder auf die
Einhaltung von Produktionstoleranzen zu.
Mathematisch kann dieser Sachverhalt durch die Summe unabhängiger
Zufallsgrößen 
beschrieben werden. Es stellt sich die Frage, ob die Verteilung der Zufallsgröße
, insbesondere
für große n, besondere Eigenschaften und Merkmale besitzt.
Wir betrachten dazu das folgende Beispiel:
- Gegeben seien die vier diskreten Zufallsgrößen
Die Zufallsgröße 
nimmt die Werte 
an. Die Verteilungsmatrix von X kann man mittels eines (vierstufigen, 625-pfadigen und damit recht umfangreichen) Baumdiagramms oder aber mittels Computer (s. Bild 1) berechnen und im nebenstehenden Diagramm veranschaulichen. |
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Das Ergebnis legt die Vermutung nahe, dass bei der Addition unabhängiger
Zufallsgrößen für große n eine Normalverteilung
entstehen könnte. Der Grenzwertsatz
von MOIVRE-LAPLACE stützt diese Annahme für einen Spezialfall,
und zwar für den Fall, dass alle 
die gleiche Verteilung der Gestalt 
besitzen.
PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827) war überzeugt, dass jede
beliebige Zufallsgröße, die man in einzelne Summanden zerlegen
kann, einer Normalverteilung folgt,
auch wenn man nichts über die Verteilung der einzelnen Summanden
weiß. Er konnte dies allerdings nicht beweisen. LAPLACE vermutete
es nur intuitiv.
Angesichts der Aussage des Grenzwertsatzes von MOIVRE-LAPLACE und der
Erfahrung, dass viele Alltagsphänomene, die sich aus unabhängig
voneinander wirkenden kleinen Komponenten zusammensetzen, annähernd
normalverteilt sind, richtete sich das Augenmerk mehrerer Mathematikergenerationen
vor allem auf die Frage, welche Bedingungen man an die Summanden
einer Summe von
Zufallsgrößen stellen muss, damit die Summe 
für große n annähernd normalverteilt ist. Es gelang in
der Folgezeit, diese Aussage für verschiedene Annahmen über
die Summanden zu beweisen. Deshalb existieren auch verschiedene Fassungen
des sogenannten Zentralen Grenzwertsatzes.
Die heute wohl bekannteste und verbreitetste Fassung geht auf JARL WALDEMAR
LINDEBERG (1876 bis 1932) und PAUL PIERRE LÉVY (1886 bis 1971)
zurück. Sie besagt Folgendes:
- Es seien
unabhängige Zufallsgrößen mit derselben Verteilung,
wobei 
und 
endlich sind. Setzt man 
und 
,
dann gilt:
Die Verteilung einer Summe von unabhängigen Zufallsgrößen
mit verschiedenen Verteilungen braucht nicht
gegen eine Normalverteilung zu konvergieren.
Durch die Untersuchungen zahlreicher Mathematiker konnten aber hinreichende
und notwendige Bedingungen bestimmt werden, unter denen der Zentrale Grenzwertsatz
gilt, auch wenn die Summanden verschiedene Verteilungen besitzen. Da diese
Bedingungen, die hier nicht angegeben werden können, sehr allgemein
sind, sind für eine ziemlich umfangreiche Klasse von Folgen unabhängiger
Zufallsgrößen
die Summen X asymptotisch normalverteilt. Es konnte sogar nachgewiesen
werden, dass auch die Verteilung einer Summe schwach abhängiger Zufallsgrößen
asymptotisch normalverteilt ist.
Der Zentrale Grenzwertsatz liefert also in seinen unterschiedlichen Fassungen
eine theoretische Erklärung dafür, warum so viele verschiedenartige
Phänomene des Alltagslebens als annähernd normalverteilt betrachtet
werden können und warum die grafische Darstellung relativer Häufigkeiten
näherungsweise so oft eine gaußsche Glockenkurve ergibt.