Schon lange vor der axiomatischen Begründung der Stochastik rechnete man mit Wahrscheinlichkeiten. Besonders zu den Zeiten, da die Mathematik hof- und gesellschaftsfähig war, wurden deren professionellen Vertretern immer wieder Fragen zu Glücks- und Kartenspielen gestellt. Dabei erwartete man nicht selten Aussagen über sogenannte zusammengesetzte Ereignisse, wie dies zum Beispiel der am Hof LUDWIG XIV. lebende Literat und Philosoph ANTOINE GOMBAUD CHEVALIER DE MÉRÉ (1610 bis 1685) gegenüber dem Mathematiker BLAISE PASCAL (1623 bis 1662) tat.
Ein Problem des DE MÉRÉ
und die LAPLACE-Regel
Auf den CHEVALIER DE MÉRÉ geht das folgende Problem zurück:
Es werden drei nicht gezinkte Würfel gleichzeitig geworfen. Sowohl
für das Auftreten der Augensumme 11 als auch für das der Augensumme
12 gibt es jeweils sechs Würfelkonstellationen, und zwar
bzw.
Daraus schlussfolgerte DE MÉRÉ, dass beide Augensummen mit
der gleichen Chance auftreten müssten. Andererseits hatte er aber
beobachtet, dass die Augensumme 11 häufiger auftrat als die Augensumme
12.
Die Wahrscheinlichkeiten derartiger zusammengesetzter
Ereignisse können mit der von PIERRE SIMON LAPLACE (1749 bis
1827, Bild 1) formulierten Regel berechnet werden: Die
Wahrscheinlichkeit für die Existenz eines Ereignisses ist also nichts
anderes als das Verhältnis der Anzahl der günstigen Fälle
zu der aller möglichen Fälle, wenn wir außerdem keinen
Grund sehen, weswegen einer dieser Fälle leichter einträte als
ein anderer. Sie kann folglich dargestellt werden durch einen Bruch, dessen
Zähler die Anzahl der günstigen Fälle ist und dessen Nenner
die aller möglichen Fälle.
- LAPLACE-Regel:
Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer endlichen Ergebnismenge
eine
Gleichverteilung mit 
ist, dann gilt für jedes Ereignis 
:
Hieraus können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:
- Für atomare Ereignisse gilt
und demzufolge entspricht die LAPLACE-Regel in diesem Fall der LAPLACE-Annahme. - Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der LAPLACE-Regel ergibt stets eine rationale Zahl.
- Mit der LAPLACE-Regel können Wahrscheinlichkeiten vor der Durchführung der Zufallsexperimente berechnet werden. In diesem Sinne handelt es sich um einen sogenannten A-priori-Ansatz (a priori, lat. - von vornherein).
Lösung des Paradoxons von DE
MÉRÉ mithilfe der LAPLACE-Regel
Betrachtet werden darf nicht nur die Gesamtaugensumme, sondern es muss
auch die Aufteilung der einzelnen Augen einer bestimmten Konstellation
auf die drei Würfel berücksichtigt werden, um die Gleichwahrscheinlichkeit
der atomaren Ereignisse zu gewährleisten. Man bezeichnet deshalb
die drei Würfel mit 
und deren Ergebnisse mit 
.
Dann gilt:
Für das Ereignis Augensumme 11 gibt es
dann die folgenden 27 (günstigen) Würfelkonstellationen:
Analog erhält man für das Ereignis Augensumme
12 die folgenden 25 (günstigen) geordneten Tripel:
Somit erhält man:
| Das rechnerische
Ergebnis bestätigt also die praktischen Beobachtungen von DE
MÉRÉ. Das nebenstehende Schirmbild zeigt die Ergebnisse
von drei Simulationen mithilfe des Programms siangs3w
(s. Bild 2). Sie stimmen mit den theoretisch gewonnenen Resulaten
relativ gut überein. Die Beobachtungen von DE MÉRÉ
beim Werfen von drei Würfeln kann man auch interaktiv überprüfen
(s. interaktives Beispiel). Der Fehler in DE MÉRÉS theoretischen Überlegungen bestand darin, dass die von ihm jeweils betrachteten sechs Möglichkeiten nicht gleichwahrscheinlich sind. |
 |
Den mit der LAPLACE-Regel ermittelten Wert
nennt man verschiedentlich klassische
Wahrscheinlichkeit von A. Eine solche Bezeichnung hat insoweit ihre
Berechtigung, da LAPLACE als Erster versuchte, den Begriff Wahrscheinlichkeit
streng mathematisch zu fassen. Es darf dabei aber nicht außer Acht
gelassen werden, dass mit einem solchem Ansatz wesentliche zufällige
Vorgänge nicht erfasst werden können. Das betrifft vor allem jene,
die nicht auf das Modell der Gleichverteilung
zurückgeführt werden können, wie etwa das Werfen eines Kronverschlusses.