Der Druck der uns
umgebenden Luft wird durch das Gewicht der Erdatmosphäre verursacht.
Wenn das richtig ist, muss der Luftdruck mit zunehmender Höhe fallen.
Das hat der französische Naturforscher BLAISE PASCAL (1623 bis 1663, Bild 1) im Jahre 1648 durch vorbildliche Messungen überzeugend nachgewiesen.
Da Gase im Unterschied zu Flüssigkeiten kompressibel sind, nimmt der
Druck beim Aufsteigen vom Grund der Atmosphäre nicht linear ab.
Um den Druckverlauf p(h) zu berechnen, muss man einige vereinfachende
Annahmen machen:
Wir nehmen an, dass die Lufthülle der Erde überall die gleiche
Zusammensetzung hat, was annähernd stimmt und dass die Temperatur sich
mit zunehmender Höhe nicht ändert, was nie stimmt (die Temperatur
sinkt um etwa 6,5 K je km Höhenzunahme). Ohne diese Vereinfachungen
ist aber die folgende Rechnung nicht möglich.
Der Beitrag einer Luftschicht mit der Dicke dh und
der Dichte 
zum Gewicht der Luft über der Fläche A ist 
die Druckänderung also  |
 |
Wir schreiben das mit negativem Vorzeichen, weil beim Fortschreiten nach oben (dh positiv) der Druck abnimmt (dp negativ).
Außer dem Druck nimmt auch die Luftdichte nach oben ab. Es gilt bei konstanter Temperatur das Gesetz von BOYLE und MARIOTTE
dabei sind 
Dichte und Luftdruck am Boden (h = 0). Einsetzen von
ergibt 
Diese Differenzialgleichung wird durch Trennen
der Variablen (p und h) und Integration auf beiden Seiten gelöst.
Man erhält:
Die Integrationskonstante C bestimmen wir aus der Randbedingung:
Für 
woraus sich 
ergibt.
Für die barometrische
Höhenformel folgt dann:
Der Luftdruck nimmt also exponentiell ab; streng genommen ist die Erdatmosphäre
in keiner Höhe zu Ende.
Misst man den Luftdruck am Erdboden und in einer beliebigen Höhe,
dann lässt sich daraus die Höhe bestimmen. Das ist ein beliebter
Praktikumsversuch für Studenten. Auf diesem Prinzip beruht auch die
Höhenmessung von Flugzeugen.
Für genauere Ansprüche genügt diese Gleichung wegen der
vorgenommenen Vereinfachungen nicht. Man legt dann eine Normalatmosphäre
zugrunde, die nach der empirisch ermittelten Gleichung
verläuft.