Die kubische
Gleichung (oder Gleichung dritten Grades)
hat folgende allgemeine Form:
Nach Division durch A ergibt sich daraus:
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine kubische Gleichung genau drei
Lösungen. Eine Lösungsformel wurde in der Renaissance gefunden
und 1545 veröffentlicht, die sogenannte cardanische Formel. Diese
ist nach dem italienischen Mathematiker und Arzt GERONIMO CARDANO (Bild
1, 1501 bis 1576) benannt, obwohl sie eigentlich auf NICCOLÒ TARTAGLIA
(etwa 1500 bis 1557) zurückgeht.
Für praktische Anwendungen hat die cardanische Formel allerdings
wenig Bedeutung, die Beschäftigung mit ihr vermittelt aber Eindrücke
vom mathematischen Herangehen an das Lösen von Gleichungen.
Die Herleitung der Lösungsformel
ist sehr kompliziert und kann hier nur angedeutet werden. Durch die Substitution
erhält
man eine kubische Gleichung mit der Unbekannten z, bei der (im Unterschied
zur Originalgleichung) aber das quadratische Glied fehlt. Das heißt,
aus
ergibt sich nach Ausführen der Multiplikationen und Zusammenfassen:
Auf diese reduzierte Form der kubischen Gleichung bezieht sich die folgende
cardanische Lösungsformel:
Daraus ergibt sich x, nämlich durch .
- Beispiel 1:
In dieser kubischen Gleichung fehlt (bereits) das quadratische Glied.
Das Einführen einer neuen Unbekannten ist also nicht erforderlich,
die Lösungsformel kann unmittelbar eingesetzt werden.
Es ist 
und somit folgt:
Die exakte Lösung ist 
.
Durch die Polynomdivision 
erhält man das quadratische Polynom 
,
womit die Bestimmung der beiden weiteren Lösungen der kubischen Gleichung
auf das Lösen einer quadratischen Gleichung zurückgeführt
ist. Da
keine reellen Lösungen besitzt, hat also die gegebene kubische Gleichung
in der Menge der reellen Zahlen nur die oben ermittelte Lösung .
- Beispiel 2:
Mit 
und der Substitution 
ergibt sich:
Das ließe sich nun einfach durch Produktdarstellung lösen,
aus 
erhielte man 
,
woraus wegen
folgt:
Wir wollen trotzdem für die kubische Gleichung 
die Lösungsformel anwenden (wobei 
ist):
Die Formel versagt im Reellen! Um hier weiterzumachen, müsste der
Bereich der reellen Zahlen verlassen werden, was aber im Allgemeinen nicht
Gegenstand der Schulmathematik ist.