Neben vielen anderen
Anwendungen ist die Mathematik in der Physik für die Definition physikalischer
Größen bedeutsam.
Wir wollen im Folgenden die Arbeit im radialsymmetrischen
elektrischen Feld berechnen und daraus weitere Größen gewinnen.
Berechnung der Arbeit
Die Gleichung für die Berechnung der Arbeit lautet:
Dabei betrachten wir nur die radiale Verschiebung einer Ladung q im Feld
einer Ladung Q, weil bei einer Bewegung einer Probeladung q in tangentialer
Richtung keine Arbeit verrichtet wird. Wir müssen also die Gleichungen
nicht vektoriell schreiben.
Dann erhalten wir:
Die Schreibweise des Vorzeichens ist ganz konsequent. Ist die Probeladung
q negativ, dann ergibt sich die Arbeit positiv, wir verrichten Arbeit
und die potenzielle Energie nimmt zu. Wenn Q eine Punktladung ist, dann
müssen wir für den Abstand im coulombschen
Gesetz einen mittleren Wert zwischen 
einsetzen.
Wir schreiben statt 
im Nenner 
also 
und
erhalten 
Mithilfe der Integralrechnung lässt sich zeigen, dass dieses vereinfachte Vorgehen exakt ist:
Wir haben hier die Änderung der potenziellen
Energie, die gleich der verrichteten Arbeit ist, berechnet. Will man die
potenzielle Energie selbst angeben, dann muss man einen willkürlichen
Ausgangspunkt wählen, an dem die Bewegung beginnt. Welchen Ort soll
man in dieser Weise bevorzugen? Eine völlig willkürliche Festlegung
können wir nicht akzeptieren und r = 0 ist nicht möglich, weil
dort die Kraft unendlich groß wäre. Man hat dafür einen
unendlich fernen Punkt festgelegt, also 
wobei wir dann r statt 
schreiben.
Wir erhalten:
In unendlicher Entfernung ist damit 
Bei anziehender Kraft (ungleichartige Ladungen) wie auch im Gravitationsfeld
wird dann bei Annäherung der Ladungen Arbeit freigesetzt. Damit sinkt
die potenzielle Energie, sie wird negativ.
Beispiel
Die Erde trägt eine Ladung 
In der höheren Atmosphäre (60 bis 1000 km) sind 
verteilt. Wir nehmen zur Vereinfachung an, dass diese Ladung in der Höhe
von 200 km gleichmäßig über der Erde verteilt ist. Für
r haben wir dann den Abstand vom Erdmittelpunkt einzusetzen, also 
.
Wir erhalten 
eine gewaltige Energiemenge.
Diese wird frei, wenn q aus großer Entfernung bis auf 200 km an die
Erde herangebracht wird.
Noch größer wird die Energie, wenn
q bis zur Erdoberfläche gebracht wird. Wir müssen für r
jetzt den Erdradius (6380 km) einsetzen und erhalten 
Der Differenzbetrag 
wird frei, wenn q aus der hohen Atmosphäre zur Erdoberfläche
gelangt. Wird die Ladung q von der Erde in die Höhe von 200 km gebracht,
ist eine Arbeit von 
zu verrichten. Damit könnte man etwa 200 Lokomotiven (20.000 t) in
die gleiche Höhe bringen!
Potenzial und elektrische Spannung
Um die Größe Spannung
zu erhalten, benötigen wir den Begriff des Potenzials. Man nutzt ihn häufig bei technischen Anwendungen. So findet man in
elektrischen Schaltplänen oft an Punkten Angaben wie "Potenzial 4V".
Der Fachmann weiß dann, dass diese Angabe auf "Masse"
bezogen wird, also auf einen genau festgelegten Ort. In Geräten und
Schaltplänen kann das natürlich nicht ein unendlich ferner Punkt
sein.
Wir wissen, dass die potenzielle Energie von der felderzeugenden Ladung
Q und von der Testladung q abhängt. Um ähnlich wie mit der Feldstärke
E eine reine Feldgröße zu erhalten, definieren wir als elektrisches
Potenzial 
und erhalten für eine Punktladung Q
Damit haben wir eine Größe erhalten, die nur von der felderzeugenden
Ladung und vom Ort abhängt, nicht aber von der Testladung.
Als elektrische Spannung zwischen zwei Punkten – nur so ist dieser Begriff
sinnvoll – definieren wir die Potenzialdifferenz zwischen diesen Punkten: 
