Der Graph der Dichtefunktion
der Standardnormalverteilung trägt
(vorwiegend im deutschsprachigen Raum) auch die Bezeichnung gaußsche Glockenkurve
(Bild 1).
Die Normalverteilung selbst wurde allerdings nicht von CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) entdeckt. Dessen Verdienst
um die Wahrscheinlichkeitsrechnung liegt auf einer anderen Ebene. Durch
seine Arbeiten zur sogenannten Fehlerrechnung
hat er der Entwicklung der Stochastik wichtige Impulse gegeben. Im Verlauf
des 18. Jahrhunderts wurde insbesondere durch die enorme Verbesserung der
Messinstrumente vor allem bei Astronomen, Physikern und Geodäten das
Bewusstsein geschärft, dass Messfehler wohl grundsätzlich nicht
vermeidbar sind. Zugleich wuchs damit aber auch das Bedürfnis nach
einer quantitativen Bestimmung von Messfehlern, insbesondere in der Form
einer Messfehlerverteilung.
GAUSS stellte sich dieser aus der Praxis kommenden Herausforderung, wobei
er ein allgemeineres Fehlerkonzept zugrunde legte als das des Messfehlers.
Dies begründete die Ausstrahlungskraft seiner dazu verfassten wissenschaftlichen
Arbeiten. Zugleich beeindruckte nachfolgende Mathematikergenerationen wohl
auch die Art und Weise seiner Problemlösung. Unter der Annahme einiger
intuitiv einsichtiger mathematischer Einschränkungen über die
gesuchte Fehlerverteilung leitete er durch ein streng mathematisch-analytisches
Vorgehen die Normalverteilung als Fehlerverteilung
her.
Die Rechnungen führten GAUSS zu einem Typ von Glockenkurven,
die Gleichungen der folgenden Gestalt genügen:
Die Funktionen dieser Glockenkurven, die bei x = 0
einen Maximumpunkt haben und dazu zwei symmetrisch gelegene Wendepunkte
besitzen, sind im Allgemeinen noch keine Wahrscheinlichkeitsdichten, da
sie nicht auf 1 normiert sind. Erforderlich ist also eine entsprechende
Parameterbestimmung.
Der Einfachheit wegen kann man fordern, dass die Wendestellen bei x = –1
und x = 1
liegen sollen. Damit lässt sich k bestimmen. Es ist:
Aus der Forderung 
folgt dann 
.
Nun lässt sich 
aus der für Wahrscheinlichkeitsdichten notwendigerweise geltenden
Bedingung 
berechnen. Unter Verwendung von 
ergibt sich 
.
Wir definieren nun wie folgt:
- Der Graph der durch
für alle 
definierten Dichtefunktion 
heißt gaußsche Glockenkurve.
Die Dichtefunktion hat folgende Eigenschaften (s. dazu auch Bild 2):
-
ist eine gerade Funktion, d.h., für alle
gilt:
-
ist stetig und beliebig oft differenzierbar mit
und 
. - Der Graph von
hat genau einen Maximumpunkt:
- Der Graph von
hat die Wendepunkte
. - Die x-Achse ist Asymptote des Graphen von ,
d.h., es gilt:
- Für
ist
streng monoton wachsend, für 
streng monoton fallend.
Es gibt auch andere Glockenkurven,
z.B. den Graphen von g mit 
.
Obwohl deren Graph kaum von der gaußschen Glockenkurve abzuweichen scheint,
besitzt eine Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion g eine unendliche
Streuung.
Sollte es notwendig sein, den Graphen der gaußschen Glockenkurve zu zeichnen, ohne dass weitere Hilfsmittel zur Verfügung stehen, dann können die folgenden leicht zu merkenden Überschlagswerte hilfreich sein:
|
x
|
0
|
0,5
|
1,0
|
2,0
|
3,0
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |