Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsgröße mit der
Dichtefunktion
und der gaußschen Glockenkurve als Graph ihrer Dichtefunktion.
Die Verteilungsfunktion
von X wird mit 
bezeichnet und gaußsche Summenfunktion
(bzw. auch gaußsche Integralfunktion
oder GAUSSsches Fehlerintegral) genannt.
Es gilt:
Mit den vor allem im deutschsprachigen Raum benutzten Bezeichnungen
für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, die mit
dem Namen des deutschen Mathematikers CARL
FRIEDRICH GAUSS (1777 bis
1855, Bild 1) verbunden sind, werden dessen Verdienste um die sogenannte
Fehlerrechnung gewürdigt. Dabei war es ihm gelungen, auf analytischem
Wege die Gleichung für die nach ihm benannte Glockenkurve von 
und damit auch für die Integralfunktion
herzuleiten.
Anhand des in Bild 2 abgebildeten Graphen der Funktion
kann man sich die meisten ihrer nachfolgend angegebenen Eigenschaften
verdeutlichen. Insbesondere gilt:
(wobei 0 der Erwartungswert und 1 der Wert der Standardabweichung von X ist)- Der Graph von
ist punktsymmetrisch zum Punkt
. - Der Graph von
hat bei
einen Wendepunkt. - Die Funktion
ist beliebig oft differenzierbar, und es gilt:
- Die Funktion
ist für alle
streng monoton wachsend.
Die gaußsche Summenfunktion ist der gaußschen Glockenkurve in gewissem
Sinne nachgeordnet. Das ergibt sich auch aus der Tatsache, dass für
keine
analytisch geschlossene Funktionsgleichung existiert. In der Praxis begegnet
einem allerdings die Normalverteilung oft zuerst nicht in Gestalt einer
Glockenkurve, sondern als ein leicht S-förmiger, monoton wachsender
Graph.
- Beispiel: Auf einer Versuchsfläche wurden 125 Kiefern angepflanzt. Nach neun Jahren werden die Höhen, in Zentimeter aufgerundet, gemessen.
Daraus entstand das folgende Messprotokoll:
Ordnet man diese Werte der Größe nach und überträgt
sie in ein Koordinatensystem, so erhält man den in Bild 3 dargestellten
Verlauf.
Anmerkung: Interaktiv können auch eigene
Messprotokolle verwendet werden, z.B. zur zeitlichen Abfolge des Höhenwachstums
einer Sonnenblume, zur Körpergröße aller Mädchen
bzw. aller Jungen einer Klassenstufe, zum Wert einer bestimmten physikalischen
Größe, die mehrmals durch verschiedene Schüler ermittelt
wurde.
Das angenäherte Bild einer Glockenkurve entsteht häufig erst,
wenn die "Urdaten" in geeigneter Weise bearbeitet werden, indem
man etwa bei den Kiefern zur Häufigkeitsverteilung der Kiefern in
"20-cm-Intervalle" übergeht (oder bei der Sonnenblume den
von Woche zu Woche ermittelten Höhenzuwachs) betrachtet.
Die graphische Darstellung zur Größe der neunjährigen
Kiefern in Bild 2 lässt vermuten, dass eine Normalverteilung vorliegt,
da bei der S-Kurve die mittleren Werte stark vertreten und Extreme selten
sind. Dafür sprechen auch inhaltliche, durch den zentralen Grenzwertsatz
gestützte Überlegungen. Das Wachstum einer einzelnen Kiefer
wird nämlich von einer Vielzahl unabhängig voneinander wirkender
Faktoren beeinflusst, wie z.B. von der Qualität des Pflanzgutes,
von der Art und Weise der Pflanzung, von der standortbedingten Bodenbeschaffenheit,
vom standortabhängigen Einfluss von Wind, Sonne und Regen, vom Wirken
verschiedener Tiere, Mikroorganismen und anderer Pflanzen usw., wobei
von keinem dieser Faktoren ein dominierender Einfluss ausgeht.
Auch wenn die Normalverteilung in der Natur relativ häufig vorkommt,
darf daraus nicht der Schluss gezogen werden, dass es dort nur normalverteilte
Zufallsgrößen gäbe. Für die Verteilung der Lebensdauer
von Lebewesen nutzt man z.B. das Modell der Exponentialverteilung.