Der Füllstand
einer Talsperre (Bild1) wird ausgedrückt durch das (aktuelle) Stauvolumen
V(t), das sich durch den Zu- und Abfluss von Wasser mit der Zeit t ändern
kann. Zu- und Abfluss von Wasser geben an, welches Wasservolumen pro
Zeiteinheit in die Talsperre hinein- bzw. aus ihr herausfließt.
Beide werden zusammengefasst zur Wasserzufuhr Z(t), die sich ebenfalls mit
der Zeit ändern kann. Überwiegt der Zufluss, so gilt 
überwiegt dagegen der Abfluss, so ist 
Eine Wasserzufuhr 
bewirkt eine Änderung
des Stauvolumens V(t). Da die Änderung des Stauvolumens durch
die erste Ableitung 
beschrieben wird, gilt die Gleichung 
Dabei ist der Füllstand zur Zeit 
als Anfangsbedingung gegeben. Für 
beschreibt die Funktion Z(t) die Einstellung des Zu- und Abflusses der
Talsperre zu einer beliebigen Zeit t.
Der Füllstand der Talsperre kann durch die Wasserzufuhr Z(t) gesteuert
werden. Je nach der verfolgten Zielstellung muss eine geeignete Funktion
Z(t) ausgewählt oder eine durch Umweltbedingungen diktierte Funktion
Z(t) akzeptiert werden.
Es soll nun für einen speziellen Fall die Entwicklung des Füllstandes
betrachtet werden:
Der aktuelle Füllstand einer Talsperre liege mit dem Volumen 
noch deutlich unter dem maximalen Volumen 
Die Zufuhr Z(t) soll so gewählt werden, dass das Stauvolumen V(t)
ständig zunimmt, 
aber nicht überschreitet. Das wird erreicht, wenn die Wasserzufuhr
Z(t) stets proportional zum momentan noch freien Stauraum 
gehalten wird, wenn also gilt:
(Man sieht:
)
Hierbei handelt es sich um eine lineare Differenzialgleichung
1. Ordnung. Man kann diese auch
in der Form 
schreiben, was der Differenzialgleichung 
entspricht. Ihre allgemeine Lösung lautet 
hier also 
Um den Parameter k zu bestimmen, muss die Anfangsbedingung eingesetzt
werden:
Die Lösung des Anfangswertproblems
lautet somit:
|
 |