| Ein elektromagnetischer Schwingkreis ist ein geschlossener
Stromkreis, in dem ein Kondensator und eine Spule (mit induktivem
und ohmschem Widerstand – in der Abbildung der Übersichtlichkeit
halber getrennt gezeichnet) in Reihe geschaltet sind. Da es sich um einen geschlossenen Stromkreis ohne Spannungsquelle handelt, gilt: |
 |
(1)
Da 
gilt,
erhält man durch Differenzieren der
Gleichung (1) folgende Differenzialgleichung:
bzw.
(2)
Gleichung (2) ist eine lineare
homogene Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
der Form 
.
Als Lösungsansatz verwendet man die Exponentialfunktion 
,
für die k zu bestimmen ist. Die Gleichung zur Bestimmung von k heißt
die charakteristische
Gleichung der Differenzialgleichung. Die zur Differenzialgleichung
(2) gehörende charakteristische Gleichung lautet 
mit der Lösung 
(3)
Mit den Lösungen 
erhält man als allgemeine Lösung der Differenzialgleichung :
Demnach hängt das Lösungsverhalten vom Größenvergleich
zwischen 
ab.
Beispiel
Es wird ein Schwingkreis betrachtet mit 
Für den Fall reeller Doppellösungen in Gleichung (3) erhält
man 
und daraus 
Im Weiteren werden vier Fälle betrachtet:
 |
 |
|
| Lösungen der char. Gleichung |
zwei reelle Lösungen
 |
eine reelle Doppellösung
 |
| Kreisfrequenz |
keine Schwingung
|
keine
Schwingung |
| allg. Lösung der Differenzialgl. |
 |
 |
 |
 |
|
| Lösungen der char. Gleichung | zwei komplexe Lösungen | zwei komplexe Lösungen |
| Kreisfrequenz |  |
 |
| allg. Lösung der Differenzialgl. |
 |
 |
Als partikuläre Lösung für 
ergeben sich dann:
Hinweis: Wenn 
und damit 
Die Stromstärkeverläufe für die vier verschiedenen Widerstände sind in der Bild 1 grafisch dargestellt. Man erkennt, wie sich die wachsenden Widerstandsgrößen auf die Kurven für die zugehörigen Stromstärken auswirken.