| Ein Körper, der an einer Feder befestigt ist, führt nach einer Auslenkung eine Schwingung durch (Bild 1). Der Ort des Körpers wird durch die zeitabhängige Ortskoordinate y(t) beschrieben, deren Gleichung gefunden werden soll. |  |
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Auf den Körper wirken folgende Kräfte: - die rücktreibende Federkraft (hookesches Gesetz): |
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Die Summe der betrachteten Kräfte ist gleich der von außen
wirkenden Kraft, hier also 0. Es gilt demzufolge:
Dividiert man diese Differenzialgleichung
2. Ordnung durch m, so ergibt sich
Diese
Gleichung entspricht mit den Zuordnungen 
der Gleichung 
. Gleichung 
wird mit dem Lösungsansatz 
gelöst. Es gilt 
Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung
erhält man 
und daraus nach Division durch 
die charakteristische
Gleichung 
mit den Lösungen 
Ist der Reibungskoeffizient 
zwar nicht vernachlässigbar, aber dennoch hinreichend klein, so überwiegt
im Radikand der Wurzel der Anteil 
der Radikand wird negativ. Wegen 
(s. o.) ergibt sich als allgemeine Lösung 
Da 
als
Dämpfungskonstante 
bezeichnet wird, heißt die Lösung schließlich 
Diese Gleichung besagt, dass die Federanordnung in eine gedämpfte
Schwingung gebracht werden kann.
Beispiel
Es soll nun eine Federanordnung mit 
betrachtet werden.
Hier gilt 
Die Schwingungsgleichung für diese Federanordnung lautet:
Wird die Masse aus der Ruhelage heraus 
mit einer Geschwindigkeit von 
in die positive y-Richtung weggestoßen 
so lassen sich die Parameter 
der allgemeinen Lösung bestimmen:
in
die allgemeine Lösung einsetzen:
Erste Ableitung der Lösung:
Die Lösung des Anfangswertproblems lautet:
 (Bild
2) |
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- welche Schwingung ausgeführt wird, wenn keine Reibung vorhanden wäre und
- wie groß der Reibungskoeffizient bzw. die Dämpfungskonstante sein müsste, damit die Anordnung überhaupt nicht schwingen kann.
Im ersten Fall gilt 
und damit auch 
Aus diesen Werten errechnet sich die Kreisfrequenz 
und damit ergibt sich für die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung
Unter den bereits betrachteten Anfangsbedingungen ergibt
sich die ungedämpfte
Schwingung 
(vgl. Graph 1 in nebenstehender Abbildung). Die Frequenz der Schwingung
ist hier etwas höher als bei der gedämpften Schwingung (vgl.
Bild 1 und Graph 2 in nebenstehender Abbiödung). |
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Die Federanordnung kann nicht mehr schwingen, wenn die Reibung und damit
der Wert für 
mindestens so groß geworden ist, dass die charakteristische Gleichung
eine
reelle Doppellösung besitzt.
In diesem Falle gilt 
Für die betrachtete Federanordnung liegt dieser Grenzwert bei 
.
Als allgemeine Lösung erhält man dann 
Werden auch hier die bekannten Anfangsbedingungen benutzt, so erhält
man 
(vgl. Graph 3 in oberer Abbildung).