Differenzierbarkeit

Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion lässt sich folgendermaßen definieren:

• Es sei I ein offenes Intervall und Eine Funktion heißt im Punkt differenzierbar, wenn folgender Grenzwert existiert:
  
  Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f in

Äquivalent zu obiger Definition ist die folgende:

• Es sei I ein offenes Intervall und Eine Funktion heißt im Punkt differenzierbar, wenn es eine Zahl gibt, sodass gilt:
  
  Die Zahl heißt Ableitung von f in

Im Folgenden geben wir eine geometrische Deutung der Differenzierbarkeit.
Die Gleichung bestimmt eine Gerade mit der Steigung durch den Punkt Sie heißt Tangente an den Graphen von f in oder in Differenzierbarkeit einer Funktion in bedeutet, dass der Graph dieser Funktion in eine nicht zur y-Achse parallele Tangente besitzt.

• Es sei I ein offenes Intervall und . Die Funktion f heißt in I differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von I differenzierbar ist.
  Die Funktion die jedem die Ableitung zugeordnet, heißt (erste) Ableitung von f.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Eine Funktion kann an einer Stelle stetig, aber nicht differenzierbar sein.

Ein "klassisches" Beispiel ist die Betragsfunktion die an der Stelle stetig (sie ist überall in stetig), aber nicht differenzierbar ist. Die Nicht-Differenzierbarkeit bei 0 ist anschaulich klar. Der Graph ändert im Punkt plötzlich seine Richtung, und es gibt keine Tangente (s. nebenstehendes Bild).

Eine ähnliche plötzliche Änderung der Richtung können wir beim Graphen der folgenden Funktion im Punkt sehen: Wieder ist f überall stetig, aber bei nicht differenzierbar (s. nebenstehendes Bild).

Anmerkung (Tangente in Analysis und Geometrie):
Die Wurzelfunktion w mit ist in nicht differenzierbar, die Analysis liefert daher in keine Tangente an das Schaubild von w. Aus der Anschauung (Geometrie) entnehmen wir, dass man die y-Achse in diesem Punkt als Tangente auffassen könnte. Weil die y-Achse nicht Schaubild einer linearen Funktion ist, kann sie aber nicht als Schaubild einer Tangentenfunktion gewonnen werden.

Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig.

• Satz: Wenn die Funktion f in differenzierbar ist, dann ist sie in stetig.

Der Begriff der Differenzierbarkeit ist hier nur für offene Intervalle erklärt worden, er lässt sich z.B. auf abgeschlossene Intervalle verallgemeinern. Man untersucht dann in den Randpunkte die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte und spricht von rechts- bzw. linksseitigen Halbtangenten.

• Beispiel: Man differenziere in

Wegen ist der Definitionsbereich dieser Funktion d.h., g ist nur für definiert, 0 und 5 sind folglich Randpunkte. Es ist:



Die Funktion g ist also in 0 nicht (rechtsseitig) differenzierbar und hat dort keine Halbtangente (zumindest keine, die sich als Funktion von x schreiben lässt). In 5 ist g linksseitig differenzierbar, die Halbtangente hat die Steigung 0.