Zur Person
Wann DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA, wie sein voller Name
oft angeben wird, eigentlich gelebt hat, ist
uns unbekannt. Man ist auf Vermutungen angewiesen, die sich aus Vergleichen
ergeben und kommt dabei auf einen Zeitraum zwischen 150 und 350.
Mit einiger Sicherheit weiß man dagegen, wie alt er geworden ist, und das verdanken wir einer Grabinschrift, die in Hexametern verfasst ist:
Hier dies Grabmal deckt Diophantos.
Schaut das Wunder!
Durch des Entschlafenen Kunst lehret sein Alter der Stein.
Knabe zu sein gewährte Gott ihm ein Sechstel des Lebens.
Noch ein Zwölftel dazu sprosst' auf der Wange der Bart.
Dazu ein Siebentel noch, da schloss er das Bündnis der Ehe;
nach fünf Jahren entsprang aus der Verbindung ein Sohn.
Wehe, das Kind das geliebte, gerade die Hälfte der Jahre hatt' es
des Vaters erreicht, als es dem Schicksal erlag.
Darauf vier Jahre hindurch durch der Größen Betrachtung den
Kummer von sich scheuchend auch er kam an das irdische Ziel.
Aus diesem Text gelangt man über die lineare
Gleichung
zu dem Ergebnis, dass DIOPHANT 84 Jahre alt geworden ist. Zugleich aber
wird durch die Fassung dieser Inschrift sinnreich auf sein Wirken hingewiesen.
DIOPHANT -
einer der Begründer der Algebra
Die griechischen Mathematiker vor Beginn unserer Zeitrechnung widmeten
sich der Geometrie. Selbst arithmetische Probleme nahmen sie oft mit geometrischen
Mitteln in Angriff. Am Ausgang der Antike begegnet uns mit DIOPHANT zum
ersten Mal ein mit der Algebra verbundener Mathematiker, und man darf
ihn als einen der Begründer dieser Disziplin ansehen.
Sein Hauptwerk ist die "Arithmetica"; sie
bestand wahrscheinlich aus 13 Büchern, von denen sechs erhalten geblieben
sind. DIOPHANT übernimmt darin vieles an Verfahren (ja sogar an Aufgaben)
von den babylonischen Mathematikern, doch ordnet und ergänzt er es,
sodass seine Werke über Jahrhunderte hinweg auch für bedeutende
Mathematiker eine Grundlage ihrer Studien waren.
DIOPHANTS Ziel ist es, darzulegen, wie man zu Problemen Gleichungen aufstellt
und mit deren Hilfe diese Probleme löst. Dabei gibt er einige Verfahrensregeln
an, so z.B. etliche, die wir heute als Verfahren
äquivalenter Umformungen benutzen (etwa Subtraktion der gleichen
Zahl auf beiden Seiten der Gleichung) und schafft somit Ansätze eines
Lösungskalküls.
Im Allgemeinen aber beschränkt er sich auf Beispielaufgaben und -lösungen,
und das oft an recht komplizierten Problemen, die schon den Charakter
von Denkaufgaben haben. Bei alldem beweist DIOPHANT eine virtuose Rechentechnik,
und oft bleibt dem Leser verborgen, was ihn zu dieser oder jener Verfahrensweise
bewogen hat.
Beweis zahlentheoretischer
Sätze
DIOPHANT beschäftigte sich mit Problemen der Zahlentheorie
und gibt eine Reihe zahlentheoretischer Sätze an, beweist sie und
demonstriert sie an Aufgaben. So nennt er etwa den folgenden Satz:
- Jede Quadratzahl lässt sich als Summe von zwei Quadraten (rationaler Zahlen) schreiben.
Am Beispiel der Zahl 16 zeigt DIOPHANT hierzu folgenden
Lösungsweg:
Die erste gesuchte Zahl sei x; dann ist die andere 
Letzteres wird 
gleichgesetzt (2x wird als beliebiges Vielfaches von x gewählt, 4
ist die Wurzel aus der Ausgangszahl 16). Aus der Gleichung 
gewinnt er 
und als zweiten Summanden 
Tatsächlich ist 
(Hätte er statt 2x in der Klammer 3x gewählt, hätte er
als Summanden 
erhalten.)
Es war dies übrigens die Stelle von DIOPHANTS Buch, die PIERRE DE
FERMAT später bewog, in sein Exemplar den berühmten Vermerk
über die Nichterfüllbarkeit der Gleichung 
für natürliche Zahlen a, b, c und natürliche Exponenten
n (mit n > 2) zu machen.
DIOPHANT löst außer den linearen auch
quadratische Gleichungen und hantiert mit negativen Zahlen, wobei er als
Lösung dann nur positive Ergebnisse angibt. Er nutzt bereits Regeln
wie "Minus mal Minus ergibt Plus". Ganz zwangsläufig entsteht
bei dieser Arbeit eine Reihe von Zeichen, Symbolen und Schreibweisen,
mit denen er bemüht ist, die Rechnungen übersichtlich zu gestalten.
Für einfache Zahlen benutzt DIOPHANT die Buchstaben des griechischen
Alphabets mit einem Querstrich, so ist bei ihm 
Zahlen, die addiert werden sollen, schreibt er einfach nebeneinander,
für die Subtraktion führt er ein besonderes Zeichen 
ein.
Außerdem benutzt er Zeichen für Potenzen, 
bedeutet beispielsweise 
.
Die Gleichheit drückt er durch den griechischen Buchstaben
(von isoi, griech. gleich)
aus. Er führt zahlreiche Begriffe (wie etwa Quadratzahl, Kubikzahl,
Biquadratzahl) ein, und gibt auch dafür Symbole an.
Diophantische
Gleichungen
Den Namen DIOPHANTS tragen die sogenannten diophantischen
Gleichungen. Das sind Gleichungen oder Gleichungssysteme, bei denen
die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Zahl der Gleichungen,
die Anzahl der Lösungen jedoch durch Nebenbedingungen (positive oder
natürliche Zahlen) begrenzt wird.
Als Beispiel dafür diene folgende
(moderne) Aufgabe:
- Für genau 100 Euro sollen genau 100 Geschenke
gekauft werden, und zwar solche zu zehn Euro, solche zu zwei Euro und solche
zu einem halben Euro.
Wie viele Geschenke von den einzelnen Sorten sind zu kaufen?
genau zwei Tripel, nämlich (1; 27; 72) und (4; 8; 88) als einzige Lösungen.
Bei solchen Gleichungen benutzte DIOPHANT oft Kettenbrüche, mit denen
er auch irrationale Zahlen näherungsweise errechnete.