Wählt man
in der tschebyschewschen Ungleichung
für
den Parameter 
Vielfache der Standardabweichung 
,
setzt man also 
,
so erhält man:
Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert annimmt, der von EX um mindestens
das n-fache der Standardabweichung 
abweicht, ist folglich höchstens 
.
Für die Spezialfälle 
ergibt sich dann Folgendes:
Diese aus der tschebyschewschen Ungleichung gewonnenen Aussagen werden als
oder 
bezeichnet.
- Satz: Die Wahrscheinlichkeit, dass
eine endliche Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert
und der Streuung 
- Werte im
annimmt, beträgt mindestens 0,75;
- Werte im
annimmt, mindestens 
.
Wir betrachten ein Beispiel.
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Zufallsgröße X um mehr als 2DX von EX ab?
In einer ersten Stufe der Bearbeitung des
Beispiels setzen wir nur die Kenntnis von EX und 
voraus. Der Vorteil der
besteht darin, dass sie auch dann angewendet werden kann, wenn man die
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X nicht kennt,
sondern nur ihren Erwartungswert EX und ihre Streuung .
Es sei 
und 
.
Nach der
erhält man:
Das heißt: Mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 0,25
weicht die Zufallsgröße X um mehr als 2DX von EX ab.
In einer zweiten Stufe setzen wir zusätzlich
die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Zufallsgröße X voraus. Es sei 
Wie man sich überzeugen kann, hat X die oben angegebenen Werte für
den Erwartungswert und die Streuung. Jetzt ist es möglich, die gesuchte
Wahrscheinlichkeit direkt zu berechnen:
Die Zufallsgröße X weicht also mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0,125 um mehr als 2DX von EX ab.
Das Beispiel zeigt, dass die auf der
beruhenden Abschätzungen
relativ grob sind. Dies schränkt die Möglichkeiten einer praktischen
Nutzung der Regel ein. Trotzdem ist sie nicht ohne praktische Relevanz.
Wir betrachten im Folgenden ein Anwendungsbeispiel.
Lars Spielmann besitzt noch einen alten, abgenutzten und lädierten
Würfel, dessen Beschriftung mit den Zahlen 1 bis 6 teilweise nur
noch schwer zu erkennen ist. Trotzdem hängt er an diesem Würfel.
Er möchte deshalb gern wissen, ob er ihn noch benutzen kann, wenn
das betreffende Würfeln fair ablaufen soll. Dazu würfelt er
1000-mal mit diesem Würfel und registriert die absoluten Häufigkeiten
für die einzelnen Zahlen. Als relative Häufigkeiten erhält
er dann die in der folgenden Tabelle enthaltenen Werte
|
k
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
 |
0,153
|
0,271
|
0,174
|
0,163
|
0,080
|
0,159
|
Da Lars Spielmann fair würfeln möchte, muss er von der Annahme
ausgehen, dass alle Zahlen gleichwahrscheinlich auftreten, und zwar mit
dem Erwartungswert
und der Standardabweichung
Das zugehörige 
ist 
.
Da die relativen Häufigkeiten für die Würfelzahlen 2 und
5 außerhalb des 
liegen, wird sich Lars Spielmann wohl von diesem Würfel trennen müssen,
denn die angenommene Gleichwahrscheinlichkeit der Augenzahlen kann mit
einer Fehlerwahrscheinlichkeit von höchstens 
verworfen werden.
Eigene Würfelergebnisse kann man mit dem "gezinkten Taschenrechnerwürfel" interaktiv gewinnen (s. Bild 1). So ist es z.B. möglich, zu untersuchen,
- wie stark man den Würfel "zinken" muss, um bei festen
n relative Häufigkeiten zu bekommen, die außerhalb des
liegen, oder
- wie oft man einen speziell "gezinkten" Würfel werfen
muss, um relative Häufigkeiten zu erhalten, die außerhalb
des
liegen.
Zur Demonstration wird die "Zinkung" 
gewählt.
Mithilfe des Programms simgezw(mat,n,x) erhält
man z.B. die folgenden Simulationsergebnisse:
|
n
|
|
|
|
1
|
 |
|
|
5
|
 |
|
|
10
|
 |
|
|
100
|
 |
|
|
200
|
 |
Vergleicht man die relativen Häufigkeiten mit dem jeweiligen ,
so sieht man, dass bei dieser Simulation die relativen Häufigkeiten
erstmals für n = 100 außerhalb des liegen.
Bei einer 
Zufallsgröße X mit 
und 
verschärft sich die Aussage der
zu  (wobei 
die Dichtefunktion von X ist). Unter Beachtung der Symmetrie der Glockenkurve gilt:  |
 |
Somit begeht man beim Berechnen von 
auf zwei Dezimalen gerundet keinen Fehler, wenn dabei die untere Integrationsgrenze
durch
ersetzt
wird, was einen beträchtlichen Zeitgewinn
bei der Nutzung des TI-92 bedeutet.