Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung wird in den meisten Lehrbüchern zur Stochastik kaum erwähnt bzw. nur am Rande behandelt. Das mag seinen Grund darin haben, dass diese Verteilung kein eigenständiges, aus der Praxis stammendes Anwendungsgebiet besitzt.

In der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie war es THOMAS SIMPSON (1710 bis 1721, Bild 1), der die Dreiecksverteilung erstmalig zum Gegenstand einer mathematischen Abhandlung machte. Deshalb trägt sie mitunter auch seinen Namen.
THOMAS SIMPSON war von Beruf Weber. Seinen Lebensunterhalt verdiente er sich vor allem als Mathematiklehrer (zuerst an einer Abendschule in Derby und später an der Königlichen Militärakademie in London). Sein Hauptinteresse galt der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Analysis. Bekannt geworden ist er auch durch die simpsonsche Formel zur näherungsweisen Flächenberechnung.

Mit der Dreiecksverteilung diskreter Zufallsgrößen beschäftigte sich SIMPSON, um die in der damaligen Praxis übliche Verwendung des arithmetischen Mittels zum Messfehlerausgleich als gerechtfertigt nachzuweisen. Er zeigte, dass diese Verfahrensweise sinnvoll ist, wenn die Häufigkeiten von n äquidistanten diskreten Messwerten ein Dreieck bilden, wenn also z.B. gilt (s. dazu auch Bild 2):

Diesen Ansatz für eine diskrete Dreiecksverteilung kann man auf stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausdehnen.

• Definition: Eine stetige Zufallsgröße X heißt dreiecksverteilt über dem Intervall , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte f mit
  
  besitzt, d.h., wenn der Graph von f die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat (Bild 3).

Für eine dreiecksverteilte stetige Zufallsgröße X gilt:

Für die zugehörige (in Bild 4 dargestellte) Verteilungsfunktion F dieser Zufallsgröße erhält man:

Die beiden wichtigsten Kenngrößen von X, der Erwartungswert und die Streuung, nehmen folgende Werte an:

• Beispiel: Mit einem LAPLACE-Würfel (kurz L-Würfel) werde zweimal gewürfelt und es wird die Summe der geworfenen Augenzahlen gebildet. Die Augensumme ist eine diskrete Zufallsgröße Y mit den elf ganzzahligen Werten 2 bis 12.
  Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung P mit besitzt diese Zufallsgröße?

Die folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung wieder.

Augen- summe i	günstige Ergebnisse für die Augensumme	Anzahl
2	(1; 1)	1
3	(1; 2), (2; 1)	2
4	(1; 3), (2; 2), (3; 1)	3
5	(1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1)	4
6	(1; 5), (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1)	5
7	(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)	6
8	(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)	5
9	(3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3)	4
10	(4; 6), (5; 5), (6; 4)	3
11	(5; 6), (6; 5)	2
12	(6; 6)	1

Die Zufallsgröße Y besitzt als Wahrscheinlichkeitsverteilung eine diskrete Dreieckverteilung. Dieses theoretisch gewonnene Ergebnis kann experimentell und interaktiv bestätigt werden, indem man das zweimalige Würfeln mit einem L-Würfel simuliert (s. Bild 5 bzw. interaktives Beispiel 1). So ergeben 1000 derartige Simulationen zum Beispiel das in Bild 6 dargestellte Histogramm.

Dieses Ergebnis lässt sich folgendermaßen verallgemeinern:

• Es seien zwei unabhängige und über dem Intervall gleichverteilte stetige Zufallsgrößen mit der gleichen Dichtefunktion
  
  Dann ist die Zufallsgröße stetig dreiecksverteilt.