Definition:
Die Menge der Ebenen des Raumes, die durch einen festen Punkt 
gehen, heißt Ebenenbündel
(Bild 1).
Da der Punkt
schon als Schnittpunkt von drei Ebenen des Bündels eindeutig bestimmt
ist, kann man sagen, dass jedes Ebenenbündel im Raum durch drei seiner
Ebenen 
eindeutig
bestimmt ist (Bild 2). Allgemeiner lässt sich sogar feststellen,
dass drei Ebenen des Raumes, die paarweise nicht parallel zueinander sind,
ein Ebenenbündel eindeutig bestimmen.
Um eine analytische Beschreibung eines Ebenenbündels
zu gewinnen, werden drei voneinander verschiedene Ebenen
betrachtet, die durch den Punkt
gehen. Jede dieser drei Ebenen lässt sich z. B. durch den Ortsvektor
zum Punkt
und einen
zugehörigen Normalenvektor
beschreiben
(Bild 3).
Es ist dann 
Jede andere Ebene 
durch kann
ebenfalls durch den Ortsvektor zu
und einen Normalenvektor beschrieben werden. Es gilt dann:
Weil paarweise
nicht parallel zueinander sind, so sind auch 
nicht parallel zueinander, d.h., die drei Normalenvektoren sind linear
unabhängig voneinander. Damit liegen diese drei Normalenvektoren
auch nicht in einer gemeinsamen Ebene. Folglich lässt sich der Vektor als Linearkombination
von auffassen:
Unter Verwendung dieses Resultats erhält man aus der obigen Gleichung
von :
Damit lässt sich das durch bestimmte Ebenenbündel im Raum und damit jede Ebene durch
als eine Linearkombination der Gleichungen von drei Ebenen des Bündels auffassen.
Satz:
Sind 
drei
voneinander verschiedene Ebenen durch ,
so beschreibt 
das zu gehörende
Ebenenbündel.
Kennzeichnet man die drei paarweise zueinander nicht
parallelen Ebenen
durch ihre Gleichungen
in allgemeiner Form, also
so beschreibt in analoger Weise
das durch
bestimmte Ebenenbündel.
Damit kann man bei geeigneter Wahl von p, q und r
mit
die Gleichung jeder Ebene durch den Schnittpunkt
von beschreiben.
Zur Bestimmung von
können die Gleichungen von
als lineares Gleichungssystem
mit drei Gleichungen und drei Unbekannten aufgefasst werden. Das Lösen
dieses Systems bedeutet dann: Man bestimme die Gleichungen der drei Ebenen,
des durch
gebildeten Ebenenbündels, die zu den Koordinatenebenen parallel sind.
Beispiel:
Betrachtet man die drei Ebenen mit den Gleichungen
: 2x + 3y +
5z - 23 = 0,
: x - 2y -
3z + 12 = 0 und
: 2x - y +
3z - 9 = 0, (Bild 4)
so beschreibt
p(2x + 3y + 5z - 23) + q(x - 2y - 3z + 12) + r(2x - y + 3z - 9) = 0
bzw.
(2p + q + 2r)x + (3p - 2q - r)y + (5p - 3q + 3r)z - (23p - 12q + 9r)
= 0 
(*)
eine beliebige Ebene des Ebenenbündels, das durch
aufgespannt wird. Zur Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts
von müssen
die Gleichungen derjenigen Ebenen des Bündels bestimmt werden, die
parallel zu den Koordinatenebenen sind.
* Die Gleichung der Ebene des Bündels,
die zur xy-Ebene parallel ist, erhält man, wenn die Koeffizienten
von x und y in (*) jeweils gleich 0 sind, also wenn
2p + q + 2r = 0 und 3p - 2q - r = 0
gilt. Daraus erhält man mit r als Parameter 
.
Damit wird das Gleichungssystem z. B. von r = 7, p= - 3 und q = -8 erfüllt.
Setzt man diese Werte in (*) ein, so ergibt sich 30z - 90 = 0, woraus z =
3 als Gleichung der Ebene des Bündels folgt, die parallel zur xy-Ebene
ist.
* Die Gleichung der Ebene des Bündels,
die zur yz-Ebene parallel ist, erhält man, wenn die Koeffizienten
von y und z in (*) jeweils gleich 0 sind, also wenn
3p - 2q - r = 0 und 5p - 3q + 3r = 0
gilt. Daraus erhält man mit r als Parameter p = -9r und q = -14r.
Damit wird das Gleichungssystem z.B. von r = 3, p = -27 und q = -42 erfüllt.
Setzt man diese Werte in (*) ein, so ergibt sich -90x + 90 = 0, woraus
x = 1 als Gleichung der Ebene des Bündels folgt, die parallel zur
yz-Ebene ist.
* In analoger Weise wird die Gleichung derjenigen
Ebene des Bündels berechnet, die parallel zur xz-Ebene ist. In diesem
Fall müssen die Koeffizienten von x und z in (*) jeweils gleich 0
sein, also es muss 2p + q + 2r = 0 und 5p - 3q + 3r = 0 gelten. Daraus
erhält man mit r als Parameter 
.
Damit wird das Gleichungssystem z.B. von r = 11, p = -9 und q = -4
erfüllt.
Setzt man diese Werte in (*) ein, ergibt sich -30y + 60
= 0, woraus y = 2 als Gleichung der Ebene des Bündels folgt, die
parallel zur xz-Ebene ist.
Damit ist (1; 2; 3) der Schnittpunkt der drei Ebenen .