Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts von Vektoren

Untersuchung von Geraden auf Orthogonalität

Eigenschaften des Skalarprodukts
Für beliebige Vektoren sowie für jede reelle Zahl t gilt:
a) (Kommutativität)
b) (Distributivität)
c)
d)

Für das Skalarprodukt zweier Vektoren der Ebene oder des Raumes, die durch ihre Koordinaten gegeben sind, gilt:

Dies ermöglicht es, die Orthogonalitätsbedingung für zwei Vektoren sehr einfach zu formulieren.
Es gilt der folgende Satz:

Sind bezüglich eines Koordinatensystems die beiden Vektoren

(in der Ebene)	(im Raum)
gegeben, dann gilt genau dann, wenn
.	.

Bezeichnet man mit die Einheitsvektoren in Richtung der Achsen eines kartesischen Koordinatensystems, so folgt speziell:

Beispiele:
a) Es ist zu überprüfen, welcher der drei Vektoren zu einem der anderen beiden orthogonal ist.
Es gilt:

Also sind lediglich die Vektoren zueinander senkrecht .

b) Gegeben seien in der Ebene die beiden Geraden ,
die einander im Punkt S(1; 2) schneiden.
Aus Bild 1 ist zu entnehmen, dass diese beiden Geraden zueinander senkrecht sein könnten. Dies soll nun rechnerisch nachgeprüft werden.
Dazu wird von jeweils einen Richtungsvektor bestimmt:
Aus der Gleichung von kann man sofort einen Richtungsvektor dieser Geraden ablesen, nämlich . Da der Anstieg der Geraden den Wert -1 hat, lässt sich aus dem Anstiegsdreieck als ein Richtungsvektor von bestimmen.
Bildet man nun das Skalarprodukt dieser beiden Richtungsvektoren, so ergibt sich . Die Vektoren sind also zueinander senkrecht . Da aber die Richtungen von beschreiben, sind folglich auch zueinander senkrecht und die Vermutung aus der Abbildung wurde bestätigt.