Nach dem Einkommensteuergesetz (EStG; Bild 1) sind in der Bundesrepublik Deutschland alle Personen, die ihren Wohnsitz oder gewöhnlichen Aufenthalt im Inland haben, unbeschränkt mit sämtlichen Einkünften steuerpflichtig.
Die Besteuerung im Einzelnen wird durch das EStG geregelt. Hier ist auch
festgelegt, wie sich aus den Gesamteinkünften das zu versteuernde
Einkommen ergibt. Dies ist im Allgemeinen geringer als die Summe der Einkünfte,
weil z.B. Vorsorgeaufwendungen, Werbungskosten und steuerfreie Einnahmen
(wie Arbeitslosengeld, Altersrenten bis auf eine Ertragsanteil) abgezogen
werden können.
Dabei wird ein gewisser Grundbetrag steuerfrei gestellt. Danach erfolgt
bis zu einer Obergrenze die Besteuerung progressiv. Das heißt, in
diesem Bereich wächst die zu zahlende Steuer nicht einfach linear
mit dem zu versteuernden Einkommen sondern schneller. Eingangssteuersatz,
Spitzensteuersatz und Gestaltung der Progression werden durch den Gesetzgeber
festgelegt und sind oftmals Gegenstand politischer Auseinandersetzungen.
Für die Praxis stehen detaillierte Einkommensteuertabellen (Bild 2 zeigt einen Ausschnitt einer solchen Tabelle) zur Verfügung, aus denen die für ein bestimmtes Einkommen zu zahlende Steuer direkt abgelesen werden kann. Hinter diesen Tabellen steht die sogenannte Steuerfunktion. Man könnte nun annehmen, dass dies wegen der Progression eine Exponentialfunktion ist. Dies ist aber nicht der Fall.
Die Steuerfunktion wird im §
32a Einkommensteuertarif wie folgt definiert:
(1) Die tarifliche Einkommensteuer bemisst sich nach
dem zu versteuernden Einkommen. Sie beträgt vorbehaltlich der §§
32b, 34 und 34c jeweils in Euro für zu versteuernde Einkommen
- bis 7.235 Euro (Gundfreibetrag): 0
- von 7.236 Euro bis 9.251 Euro:
- von 9.252 Euro bis 55.007 Euro:
- von 55.008 Euro an:
(y ist ein Zehntausendstel des 7.200 Euro übersteigenden
Teiles des nach Absatz 2 ermittelten zu versteuernden Einkommen; z ist
ein Zehntausendstel des 9.216 Euro übersteigenden Teiles des nach
Absatz 2 ermittelten zu versteuernden Einkommen; x ist das nach Absatz
2 ermittelte zu versteuernden Einkommen
(2) Das zu versteuernde Einkommen ist auf den nächsten durch 36 ohne
Rest teilbaren vollen Euro-Betrag abzurunden, wenn es nicht bereits durch
36 ohne Rest teilbar ist, und um 18 Euro zu erhöhen.
(3) Die zur Berechnung der tariflichen Einkommensteuer erforderlichen
Rechenschritte sind in der Reihenfolge auszuführen, die sich nach
dem Horner-Schema ergibt. Dabei sind die sich aus den Multiplikationen
ergebenden Zwischenschritte für jeden weiteren Rechenschritt mit
drei Dezimalstellen anzusetzen, die nachfolgenden Dezimalstellen sind
fortzulassen. Der sich ergebende Steuerbetrag ist auf den nächsten
vollen Euro-Betrag abzurunden.
Soweit der Gesetzestext, der die Steuerfunktion definiert. In weiteren
Absätzen werden das sogenannte Ehegattensplitting (Absatz 5) sowie
das Vorgehen beim Tod eines Ehegatten und bei Scheidung (Absatz 6) festgelegt.
In der Sprache der Mathematik kann man die im Gesetz definierte Steuerfunktion folgendermaßen beschreiben:
- Die Steuer s ist eine Funktion des zu versteuernden Einkommens x.
Es gilt:
- x ist nicht stetig, sondern diskret und zwar in Schritten von 36 Euro.
(Beispiel: Alle Einkommen zwischen 7.272 und 7.307 Euro werden mit 7.290 Euro angesetzt, alle Einkommen zwischen 7.308 und 7.343 Euro werden mit 7.326 Euro angesetzt, alle Einkommen zwischen 7.344 und 7.380 Euro werden mit 7.362 Euro angesetzt usw.)
Damit führt unter Umstände eine Einkommenssteigerung um 1 Euro zur Erhöhung des zu versteuernden Einkommens um 36 Euro. Gute Steuerprogramme weisen auf solche Tabellensprünge hin. - Die Funktion
ist in vier Intervallen definiert:
a) im Intervall von 0 Euro bis 7.235 Euro;
b) im Intervall von 7.236 Euro bis 9.251 Euro;
c) im Intervall von 9.252 Euro bis 55.007 Euro;
d) im Intervall von 55.008 Euro bis unendlich
Im Intervall von 0 Euro bis 7.235 Euro handelt es sich um die konstante Funktion
. - Im Intervall von 7.236 Euro bis 9.251 Euro liegt eine quadratische
Zuordnung vor, es gilt:
- Im Intervall von 9.252 Euro bis 55.007 Euro liegt ebenfalls eine quadratische
Zuordnung vor, es gilt:
- Im Intervall von 55.008 Euro bis unendlich handelt es sich um eine
lineare Funktion, es gilt:
Damit wird jeder Einkommenszuwachs über 55.008 Euro mit 48,5% (als derzeitigem Spitzensteuersatz) versteuert.
Wie die nachfolgenden (mit EXCEL vorgenommenen) Berechnungen zeigen,
ist mit dieser Definition erreicht, dass an den Intervallgrenzen keine
großen Sprünge auftreten, wenngleich von Stetigkeit im streng
mathematischem Sinn schon wegen der Diskretheit der unabhängigen
Variablen x nicht gesprochen werden kann.
Anmerkung: In den einzelnen Intervallen sind
nur einige Werte angegeben, wobei (in Übereinstimmung mit der Steuerpraxis)
die Einheit Euro nicht jedesmal gesondert genannt wird.
- Intervall 2
|
x
|
y
|
*768,85
|
+ 1.990
|
*y
|
 |
|
7.542
|
0,005
|
4,151
|
1.994,151
|
10,768
|
10
|
|
7.614
|
0,041
|
31,830
|
2.021,830
|
83,704
|
83
|
|
7.974
|
0,077
|
59,508
|
2.049,508
|
158,632
|
158
|
|
8.334
|
0,113
|
87,187
|
2.077,187
|
235,553
|
235
|
|
8.694
|
0,149
|
114,866
|
2.104,866
|
314,467
|
314
|
|
9.054
|
0,185
|
142,544
|
2.132,544
|
395,374
|
395
|
|
9.251
|
0,205
|
157,691
|
2.147,691
|
440,491
|
440
|
- Intervall 3
|
x
|
z
|
*278,65
|
+ 2.300
|
*z
|
+ 432
|
 |
|
9.252
|
0,004
|
1,003
|
2.301,003
|
8,284
|
440,284
|
440
|
|
12.852
|
0,364
|
101,317
|
2.401,317
|
873,119
|
1.305,119
|
1.305
|
|
16.452
|
0,724
|
201,631
|
2.501,631
|
1.810.180
|
2.242.180
|
2.242
|
|
20.052
|
1,084
|
301,945
|
2.601,945
|
2.819,468
|
3.251,468
|
3.251
|
|
23.652
|
1,444
|
402,259
|
2.702,259
|
3.900,981
|
4.332,981
|
4.333
|
|
27.252
|
1,804
|
502,573
|
2.802,573
|
5.054,721
|
5.486,721
|
5.487
|
|
30.852
|
2,164
|
602,887
|
2.902,887
|
6.280,687
|
6.712,687
|
6.713
|
|
34.452
|
2,524
|
703,201
|
3.003,201
|
7.578,878
|
8.010,878
|
8.011
|
|
38.052
|
2,884
|
803,515
|
3.103,515
|
8.949,296
|
9.381,296
|
9.381
|
|
41.652
|
3,244
|
903,829
|
3.203,829
|
10.391,940
|
10.823,940
|
10.824
|
|
45.125
|
3,604
|
1.004,143
|
3.304,143
|
11.906,810
|
12.338,810
|
12.339
|
|
48.852
|
3,964
|
1.104,457
|
3.404,457
|
13.493,906
|
13.925,906
|
13.926
|
|
52.452
|
4,324
|
1.204,771
|
3.504,771
|
15.153,229
|
15.585,229
|
15.585
|
|
55.007
|
4,579
|
1.275,966
|
3.575,966
|
16.374,707
|
16.806,707
|
16.807
|
- Intervall 4
|
x
|
*0,485
|
- 9,872
|
 |
|
55.008
|
26.678,880
|
16.806,880
|
16.807
|
|
58.608
|
28.424,880
|
18.522,880
|
18.553
|
|
...
|
...
|
...
|
...
|
|
152.208
|
73.820,880
|
63.948,880
|
63.949
|
Man erkennt, dass die s-Werte an den Intervallgrenzen übereinstimmen,
die Funktion also keine großen Sprünge beinhaltet.