Beim Basketballspiel
kann der Schiedsrichter nach einem Foul auf Freiwurf entscheiden. Der gefoulte
Spieler hat dann die Möglichkeit, ohne Behinderung durch einen Gegenspieler
aus einer Entfernung von 4,20 m mit dem Ball in den 3,05 m hoch angebrachten
Korb zu treffen (Bild 1).
Zur Analyse der Wurfleistungen können die Flugbahnen gefilmt und in
ein Koordinatensystem übertragen werden. Daraus lassen sich dann bestimmte
Eigenschaften der Kurven weiter untersuchen, so z.B., an welcher Stelle
der Ball seine maximale Höhe erreicht.
Diese Stelle nennt man Maximumstelle
und die zugehörige Höhe Maximum
der Funktion. (Bild 2)
In analoger Weise kann der Graph einer Funktion auch eine Minimumstelle
besitzen, wobei der zugehörige Funktionswert das Minimum
der Funktion ist. (Bild 3)
Maximum- und Minimumstellen, die der Graph einer Funktion in einem hinreichend
kleinen Intervall besitzt, nennt man lokale
Extremstellen, die zugehörigen
Funktionswerte lokale Extrema und die
Punkte lokale Extrempunkte.
Will man den absolut größten (bzw. kleinsten) Funktionswert einer
Funktion im gesamten Definitionsbereich ermitteln, so sucht man sogenannte
globale Extrema (Bild 4).
Zur rechnerischen Ermittlung der lokalen Extremstellen verwendet man
folgende hinreichende
Bedingung:
Die Funktion f sei in 
zweimal differenzierbar. Gilt für 
und 
so hat f an der Stelle 
ein lokales Maximum. Gilt für
und 
so hat f an der Stelle ein lokales Minimum.
Der Beweis dieser hinreichenden Bedingung wird in Bild 5 dargestellt. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für lokale Extremstellen enthält Bild 6.
Für die Entscheidung, ob an einer Stelle ein Extremwert vorliegt,
ist oft auch das sogenannte "Vorzeichenwechselkriterium"
sehr hilfreich. In Bild 7 sind der Graph einer Funktion f und die zugehörige
1. und 2. Ableitung dargestellt. Man erkennt, dass die 1. Ableitung an
den lokalen Extremstellen ihr Vorzeichen ändert, beim lokalen Maximum
von "+" zu "-" und beim lokalen Minimum von "-"
zu "+". Zusätzlich ist zu erkennen, dass die 2. Ableitung
an einer lokalen Maximumstelle einen negativen Wert und an einer lokalen
Minimumstelle einen positiven Wert hat. Diese Zusammenhänge können
mit dem interaktiven Rechenbeispiel 1 für beliebige Funktionen nachvollzogen
werden.
Das interaktive Rechenbeispiel 2 ermöglicht das Bestimmen lokaler
Extrempunkte von Funktionen; mit dem interaktiven Rechenbeispiel 3 kann
die maximale Höhe des Basketballs in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit
und vom Abwurfwinkel experimentell ermittelt werden.
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