Zu Leben und Wirken EUKLIDS
Über das Leben EUKLIDS (griechisch: Eukleides)
ist so gut wie nichts bekannt. Es scheint lediglich gesichert, dass er
eine Zeit lang in Alexandria gelebt und gewirkt hat. Seine Lebensdaten,
mit etwa 365 bis etwa 300 v.Chr. angegeben, sind geschätzte Daten
und wohl der Einprägsamkeit wegen so gewählt worden.
Das Verdienst EUKLIDS ist es, die Mathematik als Wissenschaft begründet
zu haben. Schon vor ihm gab es bedeutende Mathematiker wie beispielsweise
THALES, PYTHAGORAS und EUDOXOS, aber die mathematischen Erkenntnisse waren
isoliert, es gab keinen Zusammenhang zwischen ihnen, Regeln und Gesetze
wurden oft in Form von Handlungsanweisungen angegeben. EUKLID fasste all
dieses Wissen in einem System mit streng wissenschaftlichem Aufbau zusammen,
in dem jede Erkenntnis auf eine schon vorher gewonnene gesicherte Einsicht
zurückgeführt und durch logische Schlussfolgerungen abgesichert
wurde (… was zu beweisen war), und andererseits
aus diesen Erkenntnissen neue deduktiv abgeleitet wurden. Zum Beispiel
wird der Satz über die Winkelsumme eines Vierecks auf den entsprechenden
Satz über das Dreieck und dieser wiederum auf Sätze über
Wechselwinkel und Stufenwinkel zurückgeführt. So entsteht gleichsam
ein Gebäude. Weil irgendwo mit einer nicht mehr rückführbaren
Annahme begonnen werden muss, setzte EUKLID an den Anfang (gleichsam als
Fundament) eine Reihe von Thesen, die der Anschauung entnommen waren und
als einleuchtend zu akzeptieren sind.
Die "Elemente" (griechisch: stoicheia)
als EUKLIDS berühmtestes Buch beginnen daher mit einer Reihe von
Definitionen, wie z.B. für die Begriffe Punkt,
Strecke, Linie,
Kreis, Rechteck,
Umfang.
Daran schließen sich fünf sogenannte Postulate an, Forderungen
gleichsam, die in diesem System erfüllbar sein sollen. Solche sind
etwa Jeden Punkt kann man mit jedem anderen durch
eine Strecke verbinden bzw. Jede begrenzte Linie kann man geradlinig verlängern
(implizit steckt in diesen Postulaten die Beschränkung auf Zirkel
und Lineal bei allen Konstruktionen).
Anschließend werden neun Axiome aufgezählt. Dazu gehören
solche wie Was einem Dritten gleich ist, ist auch
untereinander gleich; Gleiches zu Gleichem hinzugefügt, ergibt Gleiches;
Das Ganze ist größer als sein Teil. Aus all diesen Voraussetzungen
soll nun alles Weitere abgeleitet werden.
Das euklidische Parallelenaxiom
Das fünfte Postulat hat in der Geschichte der Mathematik eine besondere
Rolle gespielt. Es lautet bei EUKLID:
Wenn eine gerade Linie beim Schnitt mit zwei geraden
Linien bewirkt, dass innen auf derselben Seite entstehende Winkel zusammen
kleiner als zwei Rechte werden, dann treffen sich die zwei geraden Linien
bei Verlängerung ins Unendliche auf der Seite, auf der die Winkel
liegen, die zusammen kleiner als zwei Rechte sind.
Man bezeichnete dieses Postulat (die Begriffe Axiom
und Postulat wurden nicht scharf getrennt)
als "Parallelenaxiom".
Da angestrebt wurde, mit möglichst wenig Voraussetzungen auszukommen,
versuchten in der Folge fast alle bedeutenden Mathematiker dieses (auch
aus dem Rahmen fallende) Axiom auf andere Axiome zurückzuführen.
Das misslang, und es wurden lediglich andere äquivalente Fassungen
gefunden.
Schließlich kam man auf den Gedanken, zu untersuchen, was denn
folgen würde, wenn man dieses Axiom einfach wegließe. Es zeigte
sich, dass in diesem Fall eine "andere", aber in sich widerspruchsfreie
Mathematik entstand.
Ein Beispiel dafür ist die Geometrie auf der Kugeloberfläche.
Zwei verschiedene Längenkreise schneiden den Äquator jeweils
im rechten Winkel, und dennoch treffen sie sich in den Polen, und das
so entstehende "Dreieck" hat eine Winkelsumme von über 180°.
Auf diese Weise entstanden - entwickelt vor allem von CARL FRIEDRICH
GAUSS, JANOS BOLYAI und NIKOLAI IWANOWITSCH LOBATSCHEWSKI - sogenannte
nichteuklidische
Geometrien.
(Seither bezeichnet man die in der Schule gelehrte,
in der Ebene gültige Geometrie als euklidische
Geometrie).
Zu EUKLIDS "Elementen"
Die "Elemente" bestehen aus 13 Büchern, von denen der größte
Teil erhalten geblieben ist.
Einige Inhalte seien hier genannt:
Dank ihrer logischen Struktur wurden die "Elemente" zum grundlegenden
Lehrbuch der Mathematik. Als eines der ersten mathematischen Bücher
wurden sie 1482 in Venedig erstmals gedruckt und waren das am häufigsten
gedruckte Buch neben der Bibel. Beispielsweise sollen noch im 16. Jahrhundert
Kandidaten für den Grad des Magisters an der Pariser Universität
verpflichtet gewesen sein, zu beeiden, dass sie Vorlesungen über
die ersten sechs Bücher der "Elemente" gehört hätten.
In THEODOR STORMS Novelle "Der Schimmelreiter" lernt der spätere
Deichgraf Hauke Haien als Knabe Mathematik aus einem Buch von EUKLID,
das er auf dem Dachboden gefunden hatte.
Es verdient Erwähnung, dass sich in den "Elementen" keinerlei
Anwendungen der Erkenntnisse finden. Für EUKLID war jede Nutzung
der Mathematik außer der Schulung des Geistes verpönt. In einer
(allerdings auch anderen Mathematikern zugeschriebenen) Anekdote wird
berichtet, EUKLID habe einem seiner Jünger, als dieser ihn nach dem
Nutzen eines bestimmten Lehrsatzes fragte, Geld überreichen lassen,
denn er müsse doch sehr arm sein, wenn er nach dem Nutzen solchen
Wissens frage.
Eine andere Anekdote besagt: Als der ägyptische König EUKLID
fragte, ob er für ihn nicht einen leichteren Zugang zur Mathematik
wisse, antwortete EUKLID, es gäbe keinen "Königsweg"
für die Wissenschaft.
Weitere wissenschaftliche Leistungen
EUKLIDs
Den größten Teil der in den "Elementen" dargelegten
Erkenntnisse hat EUKLID von Vorgängern oder Zeitgenossen übernommen.
Manches ist sicherlich auch von ihm gefunden, und einiges ist bis heute
mit seinem Namen verknüpft.
Im Folgenden seien einige Beispiele dafür
angeführt:
- Satz von EUKLID (auch "Kathetensatz"):
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächeninhaltsgleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt (Bild 2):
- Euklidischer Beweis zum Satz Es
gibt keine größte Primzahl.
Angenommen, es gäbe eine größte Primzahl. Sie sei p. Dann bilde man das Produkt aller Primzahlen
und addiere dazu 1. Die so entstandene Zahl 
ist durch keine der bis dahin bekannten Primzahlen teilbar, denn sie
lässt bei Division stets den Rest 1. Also ist sie entweder selbst
eine Primzahl (größer als p) oder sie hat Primteiler, die
notwendig größer als p sind. Das ist ein Widerspruch zu der
Annahme, und diese muss demnach falsch sein. - Euklidischer Algorithmus
Das ist ein Verfahren, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu ermitteln. Das Vorgehen sei an einem Beispiel vorgestellt. Es soll der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 903 und 645 gefunden werden. Man rechnet:
Der größte gemeinsame Teiler von 903 und 645 ist 129.
(Das Verfahren lässt sich bei einer Verbindung von Division und Subtraktion verkürzen.)
Viele der von EUKLID angeschnittenen Fragen reizten über Jahrhunderte
hinweg die Mathematiker zu weiteren Untersuchungen, so z.B. der vollkommenen
Zahlen.
Eine Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer echten
Teiler ist. Eine solche Zahl ist beispielsweise die 6, denn ihre Teiler
sind 1, 2 und 3, und es ist 
.
EUKLID gab bereits vor: Wenn 
eine Primzahl ist, dann ist 
eine vollkommene Zahl.
Für n = 3 erhält man dabei 
und 28 als eine vollkommene Zahl. EULER z.B. bewies, dass alle geraden
vollkommenen Zahlen diese von EUKLID angegebene Form haben.
EUKLID war auch auf anderen Gebieten wirksam. So veröffentlichte
er Werke über Musiktheorie (Sectio canonis),
über Perspektive (Optica) und über
Astronomie (Phainomena).