Zur Förderung von Gärungsprozessen (etwa bei der Weinherstellung) werden Hefen eingesetzt. Die Hefezellen entwickeln sich in Nährlösungen (Bild 1). Aus Versuchen weiß man, dass sich die Anzahl bestimmter Hefezellen stündlich verdreifacht.Die folgende Tabelle gibt die Hefemasse an, die sich ausgehend von 1,5 Gramm Hefe nach einer Stunde, zwei Stunden, drei Stunden, ... gebildet hat.
| Zeit t in h |
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
...
|
| Masse m in g |
1,5
|
4,5
|
13,5
|
40,5
|
121,5
|
364,5
|
...
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
...
|
Die durch diese Tabelle gegebene Funktion lässt sich durch die
folgende Gleichung beschreiben:
-
Definition: Funktionen mit Gleichungen der Form
heißen Exponentialfunktionen. Ihr Definitionsbereich ist die Menge
der reellen Zahlen.
Um einen Überblick über einige elementare Eigenschaften dieser
Funktionen zu erhalten, zeichnen wir unter Verwendung von Wertetabellen
(Werte z.T. gerundet) die Graphen folgender Exponentialfunktionen:
(siehe Bild 2 bzw. 1. interaktives
Rechenbeispiel)
Generell gelten für Exponentialfunktionen
die
in der folgenden Tabelle bzw. in Bild 3 zusammengestellten
Eigenschaften.
besitzen dieselben Eigenschaften wie die Funktionen 
mit Ausnahme des Schnittpunktes ihrer Graphen mit der y-Achse, der für
der Punkt
(0; c) ist. Der Graph der Funktion
ergibt sich aus dem Graphen der Funktion 
durch Stauchung in Richtung
der y-Achse auf das "0,5fache" und der Graph von aus dem Graphen von
entsprechend durch Streckung oder Stauchung in Richtung der y-Achse mit
dem Faktor c.Beispiele:
(s.
Bild 4)
Insbesondere Wachstums- oder Abnahmeprozesse lassen sich mithilfe von
Exponentialfunktionen beschreiben, z.B. der Bevölkerungszuwachs in
einer Region, das Wachstum von Bakterienkulturen, der Kapitalzuwachs bei
langjähriger Verzinsung, radioaktiver Zerfall bestimmter Elemente
u.Ä.
Von besonderer Bedeutung ist die Exponentialfunktion 
in der die eulersche Zahl
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 …
als Basis auftritt.
Der Schweizer Mathematiker LEONHARD EULER (1707 bis 1783, Bild 5) fand diese Zahl - einen unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbruch - im Jahr 1727.