Es sei g mit 
eine über ihrem gesamten Definitionsbereich 
differenzierbare Funktion mit der Ableitung 
.
Durch Multiplikation der Funktionsgleichung von g mit dem konstanten Faktor
erhält
man die Funktion 
.
Der Differenzenquotient
von g ist dann:
Damit gilt für die Ableitung von g:
Da nach den Grenzwertsätzen für Funktionen
der Grenzwert eines Produktes gleich dem Produkt der Grenzwerte seiner Faktoren
(so diese existieren) ist, folgt hieraus
und damit wegen der beliebigen Wahl von 
Es gilt die Faktorregel der
Differenzialrechnung:
- Ist g einen differenzierbare Funktion, so ist auch die Funktion f
mit
differenzierbar und es gilt 
.
Mit anderen Worten:
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten –
im Unterschied zu einem konstanten Summanden, dessen Ableitung gleich null ist.
Die Ableitung einer Funktion
und damit ihre Steigung an
einer bestimmten Stelle
ist also stets gleich dem k-fachen der Ableitung der Funktion g an dieser
Stelle.
Das heißt: Der Graph der Funktion
geht aus dem Graphen von 
durch Streckung um das k-fache in y-Richtung hervor - in demselben Verhältnis,
wie auch die Graphen von 
und g zueinander stehen.
Das folgende Bild (s. auch Bild 1) zeigt die Beziehungen zwischen zwei
Funktionen f und g sowie ihren Anstiegen an einer Stelle
für 
.
An der Stelle gilt hier
und
