Aus der geometrischen
Deutung des bestimmten Integrals resultiert die Flächenberechnung als grundlegende Anwendung der Integralrechnung.
Dabei erfordern Unterschiede
in Form und Lage der jeweiligen Flächen im Koordinatensystem spezifische
Vorgehensweisen.
(1) Flächen unter Funktionsgraphen, die oberhalb
oder unterhalb der x-Achse liegen
(Bilder 1 und 2)
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Die beiden oben angegebenen bestimmten Integrale unterscheiden sich
nur durch das Vorzeichen.
Um stets positive Maßzahlen für den
Flächeninhalt zu erhalten, schreibt man:
Beispiele:
a) Es ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion
und der x-Achse
im Intervall [2; 4] zu berechnen (Bild 3).
Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse – wir müssen den Betrag
des entsprechenden bestimmten Integrals berechnen.
Der Flächeninhalt beträgt rund 7,3 FE.
b) Es ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion
und der x-Achse in den Grenzen -1 und 1 zu berechnen (s. folgendes Bild
4).
Die Funktion f hat im Intervall 
eine Nullstelle. Der Graph der Funktion f schneidet in diesem Intervall
also die x-Achse – die gesuchte Fläche liegt sowohl unterhalb als
auch oberhalb der x-Achse. Aus diesem Grunde wäre es hier falsch,
über das gesamte Intervall zu integrieren – man erhielte dann nämlich
als Resultat die Summe aus einem "positiven" und einem "negativen"
Flächeninhalt.
Die beiden Teilflächen müssen in einem solchen
Fall einzeln berechnet werden.
Der Flächeninhalt beträgt 2 FE.
c) Durch den Graphen der Funktion 
und die x-Achse wird eine Fläche vollständig begrenzt (s. folgendes
Bild 5). Der Inhalt dieser Fläche ist zu berechnen.
- Um die Integrationsgrenzen zu ermitteln, zwischen denen das bestimmte
Integral zu berechnen ist, müssen die Nullstellen der Funktion
f bestimmt werden. Aus
erhält man hierfür 
. - Flächenberechnung:
Der Flächeninhalt beträgt 4,5
FE.
d) Es ist der Inhalt der Fläche zu bestimmen, die der Graph der
Funktion 
und die x-Achse vollständig begrenzen (s. Bild 6).
- Bestimmen der Integrationsgrenzen (Nullstellen):
Durch Substitution 
und Lösen der quadratischen Gleichung erhält man 
.
- Flächenberechnung:
Dem Bild kann man entnehmen, dass sich die Gesamtfläche aus drei Teilflächen zusammensetzt:
Wir berechnen den Inhalt der Teilflächen.
Der Flächeninhalt beträgt rund 8 FE.
Die Versuche von Mathematikern der Antike, die Quadratur bestimmter,
nicht geradlinig begrenzter Figuren zu lösen, führte teilweise
zu "überraschenden" Zahlenwerten für Flächeninhalte.
Beispiele:
Die Fläche unter der Normalparabel im Intervall [0; 3] beträgt
(s. Bild 7)
:
Selbst wenn die Integrationsgrenzen irrationale Zahlen sind (wie beispielsweise Bogenmaße von Winkeln), können sich für die zugehörigen Flächeninhalte überraschend "glatte" Zahlenwerte ergeben (s. Bilder 8 und 9):
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Für die Fläche unter einer Hyperbel in den Grenzen von 1 und
(Bild 10)
ergibt sich:
(2) Flächen zwischen Funktionsgraphen
Mit den Bezeichnungen aus obigem Bild 11 gilt:
Das heißt: 
Dieser Weg der Berechnung von Flächenstücken zwischen Funktionsgraphen
ist unabhängig von der Lage des Flächenstücks bezüglich
der x-Achse.
Beispiele:
Es ist der Inhalt der Fläche zwischen den Graphen der nachfolgend
angegebenen Funktionen f und g zu berechnen.
a) 
und 
(s. Bild 12)
- Integrationsgrenzen (Abszissen der Graphenschnittpunkte):
f(x) = g(x), also
- Flächeninhalt:
Der Flächeninhalt beträgt rund 4,74 FE.
b) 
und 
(Bild 13)
- Integrationsgrenzen:
f(x) = g(x), also
- Flächeninhalt:
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Der Flächeninhalt beträgt rund 7 FE.