Dreieck, Flächeninhalt

Aus der Elementargeometrie ist die folgende Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks bekannt:

Für die analytische Geometrie sollen nun eine Formel in Koordinatendarstellung und eine in Vektordarstellung entwickelt werden (interaktives Rechenbeispiel).

Koordinatendarstellung
Die Fläche des Dreiecks ABC kann folgendermaßen aus Parallelogrammen gebildet werden (s. Bild 1 bzw. nachstehendes Textbild):




Für die Flächeninhalte der entsprechenden Trapeze gilt:

In die Gleichung eingesetzt liefert dies

bzw. (ausmultipliziert)

oder (vereinfacht)

In Determinantenform geschrieben ergibt sich schließlich:

• Beispiel 1: Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit zu berechnen.

Einsetzen in die oben entwickelte Formel ergibt:

Das gleiche Ergebnis liefert die Berechnung mithilfe der Determinante:

Da dieses Dreieck, wie man leicht in einer Skizze sieht, im mathematisch negativen Drehsinn durchlaufen wird, wird die Maßzahl des Flächeninhaltes hier negativ.
Also ist

Vektordarstellung
Das Dreieck ABC werde durch die Vektoren aufgespannt (s. folgendes Bild).



Wegen gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Bei Benutzung des Vektorproduktes ergibt sich die folgende Form:

• Beispiel 2: Gegeben sind die Punkte . Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Es ist Damit ergibt sich:

Die Fläche des Dreiecks beträgt

• Beispiel 3: Gegeben sind die Punkte .
  Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Mit ergibt sich:


Der Flächeninhalt besitzt die Maßzahl 0, d.h., die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden (sind kollinear).