fortbewegt, so
besteht zwischen zurückgelegtem Weg und verflossener Zeit ein spezieller
funktionaler Zusammenhang: Es handelt sich um eine direkte
Proportionalität mit dem Proportionalitätsfaktor .
Mittels der Gleichung 
lässt sich der Weg berechnen, den die Schildkröte in der Zeit
t (gemessen in Minuten) zurückgelegt hat. | Zeit t in min |
0
|
1
|
2
|
3
|
...
|
| Weg s in m |
0
|
1,5
|
3
|
4,5
|
...
|
Jeder direkt proportionale Zusammenhang zwischen zwei
Größen y und x kann durch eine spezielle lineare
Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx (m 
0) beschrieben werden. Solche Funktionen haben folgende Eigenschaften:
- Der Definitions- und der Wertebereich ist
. - Der Graph von y = f(x) = mx ist stets eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.
Die Zahl m heißt dabei der Anstieg der Funktion f. Er gibt das Verhältnis einander zugeordneter Werte aus Definitions- und Wertebereich an.
Anschaulich betrachtet, kann man sagen: Wenn x um
1 vergrößert wird, so verändert sich y um m.
Ist dabei m > 0, so wachsen die Funktionswerte an - die Gerade
steigt.
Ist dagegen m < 0, so fallen die
Funktionswerte wie auch die Gerade.
Um den Graphen einer linearen Funktion mit y = mx
zu zeichnen, werden nur zwei Punkte benötigt. Als ein Punkt kann
z.B. immer der Koordinatenursprung gewählt werden.
Einen zweiten Punkt erhält man, indem man
- die Koordinaten dieses Punktes mithilfe der Funktionsgleichung berechnet oder
- den Anstieg m benutzt.
Beispiel 1: Koordinaten mittels Funktionsgleichung berechnen
| y = 2,5 x | ||
| Für | x = 2: | y = 2,5 · 2 |
| y = 5 | ||
| P (2; 5 ) |
Beispiel 2: Koordinaten
mittels Anstieg bestimmen
y = 
x |
||
| m = |
Wenn
x um 1 wächst, so wächst y um
oder wenn x um 4 wächst, wächst y um 3. |
|
| P (4; 3 ) |
|
Beispiel
3:
|
y = - 2x
|
||
|
Für
|
x = 1:
|
y = - 2 · 1 | |
| y = - 2 | |||
(1; - 2) |
|||
|
Oder:
|
|||
|
Für
|
x = -
 : |
y = - 2 ·
(- ) |
|
| y = 1 | |||
(- ;
1) |
|
Beispiel
4:
|
y = -
x |
|
| m = - |
Wenn x um 1 wächst, so fällt y um
|
|
|
Oder:
|
Wenn x um 2 fällt, so wächst y um 1. |
Das eingezeichnete rechtwinklige Dreieck nennt man Anstiegsdreieck (Steigungsdreick). Anstiegsdreiecke kann man in beliebiger Größe und an beliebiger Stelle zeichnen sowie entlang des Graphen verschieben.
Durch die Gleichung y = f(x) = mx wird eine ganze Schar von Funktionen beschrieben, die sich nur im Anstieg m unterscheiden. Die Zahl m wird ein Parameter der Funktionsschar y = mx genannt. Zu der Funktionsschar gehört eine Geradenschar, deren einzelnen Elemente für m > 0 wachsen (steigen) und für m < 0 fallen.