Das auf CARL FRIEDRICH
GAUSS (1777 bis 1855, Bild 1) zurückgehende Verfahren beruht auf dem
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
(Verfahren der gleichen Koeffizienten).
Die Lösungsstrategie
besteht in der äquivalenten Umformung des gegebenen Gleichungssystems
mit mehreren Variablen (Unbekannten) in eine Gleichung mit nur einer Unbekannten.
Unter einer äquivalenten Umformung versteht man jede Umformung, welche die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht verändert. Für äquivalente Umformungen gelten die folgenden Regeln:
- Eine Gleichung kann mit einer reellen Zahl
multipliziert werden. - Gleichungen können untereinander vertauscht werden.
- Zu einer Gleichung kann das Vielfache einer anderen Gleichung addiert werden.
Im Folgenden wird das gaußsche Eliminierungsverfahren am Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen demonstriert.
- Es ist das folgende Gleichungssystem zu lösen:
Vertauschen der Gleichungen (I) und (II) ergibt:
Die Gleichung 
ist die Eliminationszeile
und bleibt in den weiteren Umformungen unverändert.
Diese im Folgenden mit (E) bezeichnete Gleichung wird nun mit einem Faktor
multipliziert, der sich als negativer Quotient der Koeffizienten der zu
eliminierenden Variablen der Gleichungen 
mit der Gleichung (E) ergibt (in diesem Beispiel ist 
):
Damit ist die Unbekannte 
eliminiert, denn es ergibt sich:
Jetzt wird 
zur Eliminationszeile 
und der Vorgang wird wiederholt. Die Gleichung
wird mit dem Faktor 
multipliziert und zu 
addiert:
Man erhält ein neues Gleichungssystem, dessen dritte Gleichung eine
Gleichung mit nur noch einer Variablen ist:
Hieraus wird 
errechnet. Einsetzen in
liefert 
,
Einsetzen in (E) 
.
Probe durch Einsetzen der Lösungen in
alle Gleichungen (Ausgangsform):
Das am obigen Beispiel demonstrierte Verfahren lässt sich auf lineare
Gleichungssysteme von n Gleichungen mit n Variablen verallgemeinern.
Es sei folgendes Gleichungssystem gegeben:
Durch entsprechende äquivalente Umformungen wird dieses Gleichungssystem
in die folgende (so genannte) Dreiecksform
gebracht:
Hieraus erhält man 
und sukzessive lassen sich 
berechnen.
Anmerkung: Die Umformung des Gleichungssystems
in diese Form (bzw. der Koeffizientenmatrix zu einer oberen Dreiecksmatrix)
setzt voraus, dass die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht verschwindet.
Ist dies nicht erfüllt, wird die Koeffizientenmatrix in eine Trapezform
überführt.
Mithilfe der interaktiven Beispiele 1, 2 und 3 können lineare Gleichungssysteme mit zwei, drei bzw. vier Variablen gelöst werden.
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