Bei einer ganzrationalen Funktion ist der Funktionsterm ein Polynom.
Bildet man den Quotienten zweier Polynome, so führt das in der Regel
zu einer neuen Funktion. Ist z.B. 
und 
,
dann ergibt sich die Funktion 
.
Man legt fest:
- Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome
ist,
heißt gebrochenrationale Funktion.
Gebrochenrationale Funktionen haben die folgende Form:
Beispiele für gebrochenrationale Funktionen sind etwa:
Ganzrationale Funktionen werden in der Regel nach dem Funktionsgrad eingeteilt. Bei gebrochenrationalen Funktionen ist eine solche Einteilung nicht üblich. Bei dieser Klasse von Funktionen vergleicht man den Grad n der Zählerfunktion mit dem Grad m der Nennerfunktion und trifft folgende Unterscheidung:
f ist eine echt gebrochene rationale Funktion (s. Beispiel 1)
f ist eine unecht gebrochene rationale Funktion (s. Beispiele 2 und 3)
Bei einer unecht gebrochenen rationalen Funktion kann man den Funktionsterm
durch Polynomdivision in einen ganzrationalen
Term und einen echt gebrochenen rationalen Term zerlegen. Für die
Beispiele 2 und 3 erhält man:
Jede gebrochenrationale Funktion ist in ihrem gesamten Definitionsbereich
stetig. Während eine ganzrationale Funktion für alle 
definiert ist, gehören bei einer gebrochenrationalen Funktion nur
die reellen Zahlen zum Definitionsbereich,
für die die Nennerfunktion 
verschieden von null ist. Die Stellen x mit 
heißen Definitionslücken.
Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel ausführlicher.
- Gegeben sei eine gebrochenrationale Funktion f mit
.
Man bestimme den Definitionsbereich von f und skizziere den Graph.
Da die Nennerfunktion 
für 
gleich null ist, gilt für den Definitionsbereich 
.
Zwei Definitionslücken zerlegen also den Definitionsbereich (und
damit auch den Graphen der Funktion) in drei nicht zusammenhängende
Teile. Weitere Anhaltspunkte zum Skizzieren des Graphen, der in Bild 1
dargestellt ist, kann eine Wertetabelle liefern.
Die einfachsten Grundtypen
gebrochenrationaler Funktionen sind die Funktionen 
und 
(Bild 2). Viele gebrochenrationale Funktionen lassen sich auf diese Grundtypen
zurückführen (interaktives Rechenbeispiel).
Als Beispiel dafür betrachten wir die Funktion h mit 
.
Deren Graph entsteht aus dem Graphen von f, indem man diesen um 
in Richtung der x-Achse verschiebt, anschließend an der x-Achse
spiegelt und mit dem Streckungsfaktor 
in Richtung der x-Achse streckt (s. obiges Bild).